Szuster Janusz - Wstęp do teorii mnogości.pdf - Matematyka - Kuya

–1–

Podstawymatematykidlainformatyków

Wstępdoteoriimnogości

Proponowanaliteratura

Podręczniki:

[1] KazimierzKuratowski,AndrzejMostowski, Teoriamnogości ,MonograﬁeMatematycznet.

XXVII,W-wa1978,

[2] JerzyTiuryn, Wstępdoteoriimnogościilogiki ,Wrocław2000,

[3] HelenaRasiowa, Wstępdomatematyki współczesnej ,PWNW-wa2003,

[4] ZoﬁaAdamowicz,PawełZbierski, Logikamatematyczna ,PWNW-wa1991,

[5] AgnieszkaWojciechowska, Elementylogikiiteoriimnogości ,PWNW-wa1979.

Zbioryzadań:

[1] Igor A.Ławrow, ŁarisaL.Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i

teoriialgorytmów ,PWNW-wa2004,

[2] JanuszOnyszkiewicz,WiktorMarek, Elementylogikiiteoriimnogości ,PWNW-wa2004.

–2–

Zaryshistoriiteoriimnogości

Ewolucja myśli matematycznej przebiega w sposób nieprzerwany od co najmniej 5 000

lat. Wiodła ona od, jak byśmy to dziś powiedzieli, aplikacji arytmetycznych poprzez rozwój

geometrii i algebry oraz próby formalizacji idei matematycznych z wykorzystaniem dorobku

ﬁlozofówzwanegoodczasówArystotelesalogiką. Wrazzewzrostempoziomukomplikacjianal-

izowanychobiektówmatematycypotrzebowalicoraztonowychnarzędzipozwalającychnajed-

noznaczny opis zarówno nowouzyskiwanych wyników jak i tych, które były znane stosunkowo

dawno, ale język ich opisu był mało prezyzyjny. Takie pojęcia jak zbiór i zawieranie były

w przeszłości rozumiane intuicyjnie, między innymi z uwagi na geometryczne odniesienia, i

nie budziły sporów interpretacje tych pojęć. Kłopoty zaczęły się pojawiać w momencie, gdy

obiektem rozważań były pojęcie równoliczności zbiorów, czy też pojawienia się w kontekście

zbioru pojęcia liczby czy wielkości. Jednym z takich problemów był problem nieograniczonej

„podzielności”czy „rozciągliwości” badanyjużprzezpitagorejczyków. Tenproblemprowadził

częstodokłopotównaturyﬁlozoﬁcznejidotykałonzarównoeleatówjakBolzanaiCantora.

Porazpierwszyzzagadniemrównolicznościlubbardziejprecyzyjnieuogólnionejrównolicz-

nościpojawiasięwpracachGalileusza,którywykazujewzajemniejednoznacznąodpowiedniość

międzyliczbaminaturalnymiiichdrugimipotęgami.

Dziśwydajesięconajmniejniezrozumiałe,jakprzezcałewiekimogłybyćutrzymywanei

kultywowanepoglądymatematyczne,októrychdziświemy,żebyłynieprecyzyjnelubcałkowicie

błędne. Wytłumaczenie tego zjawiska wydaje się jednak być dość nieskomplikowane. Mi-

anowicie, nie istnieło wewnętrzne zapotrzebowanie matematyki na precyzje w tym względzie.

Rozwój analizy matematycznej jaki dokonał się w XIX wieku za sprawą wielu ówczesnych

matematyków wśródktórych należy wymienić Cauchy’ego, Weierstrass’a, Bolzano, Riemanna,

Poincar´ego,Mittag-Leﬀera,Cantora,Dedekinda,BernsteinaiPeano. Talistaniejestoczywiście

kompletna,alewymienionenazwiskawskazująnarangędostrzeżonegoproblemu.

Bez wątpienia za ojca teorii mnogości w jej dzisiejszym rozumieniu należy uznać matem-

atyka niemieckego Georga Ferdynanda Ludwiga Cantora (1845-1918). Wychodząc od analizy

prac Riemanna doszedł problemów związanych z przeliczalnością oraz konstruowaniem liczb

rzeczywistych. W latach 1878-1884 Cantor ogłosił cykl sześciu rozpaw poświęconych prob-

lemomrównoliczności,teoriizbiorówcałkowicieuporządkowanych,własnościomtopologicznym

R i R

n ,atakżeproblemommiary. Wprowadzeniew1882rokuprzezCantorapojęciazbiorudo-

brzeuporządkowanegodajepodstawędobadanialiczbkardynalnychorazpozwalasformułować

„hipotezęcontinuum”. OpórmatematykówwobecwynikówCantorabyłdośćjednolityitwardy.

JedynieCarlWeierstrassbyłnastawionydojegowynikówżyczliwie. Opórtenpowodowanybył

rewolucyjnym charakterem tych wyników, burzyły one bowiem ponad dwutysięczną tradycję

matematyczną. Po wynikach Cantora przyszła kolej na uzupełniejące je rezultaty Bernsteina

iZermelo. Prawdziwym sojusznikiem Cantora w pracach nadteorią mnogości był JuliusWil-

helm Richard Dedekind (1831-1916). Niektóre spośród wyników uzyskanych przez Cantora i

jego kontunuatorów były odkryte przez Dedekinda jednak nie zostały one opublikowane. Co

więcej wiele wyników tego ostatniego pokazało jak w pełni należy stosować teorie aksjomaty-

czne. Mianowicie,Dedekindrozważającogólneprzypadkizbiorów,anietylkozbiorówcałkowicie

–3–

uporządkowanych,dochodzidozbiorówkratowychigruntownieanalizujeichwłasności. Chociaż

w odróżnieniu od wyników Cantora, rezultaty uzyskane przezDedekinda nie znalazły natych-

miastowegozastosowania,tookazałysięoneniezwykleważniejużwnieodległejprzyszłości.

WynikipracCantorapozwoliłynaformalizacjęmatematyki,ajednocześniedałypoczątek

upowszechnianiusięmetodaksjomatycznych. Jednakpozatymosiągnięciemdałyonepoczątek

kryzysowipodstawmatematyki. Pojawiłysięotoparadoksyteoriimnogości. Większośćznich

była bliźniaczo podobna, pod względem natury, do tych z jakimi zetknięto się wcześniej przy

odkryciugeometriinieeuklidesowych. Skonstatowaćtomożnasformułowaniemzaczerpniętymz

Elementówhistoriimatematyki NicolasaBourbaki,że próżnesąpróbyzbudowaniajakiejkolwiek

teorii matematycznej za pomocą odwoływania się (jawnego lub nie) do„intuicji” .Szłozatem

o to, by dla teorii mnogości stworzyć podstawę aksjomatyczną analogiczną do układu aksjo-

matówgeometriielementarnej,bezdociekaniaconazywamyzbiorem,wsensienaturyobiektu,

jak również nie jest deﬁniowane przynależenie do zbioru, a jedynie wyraźnie formułowane są

warunkicharakteryzująceprzynależnośćdoustalonegozbioru. Pierwszym,któryzbudowałtaką

aksjomatyzację był Zermelo i stało się to w 1908 roku. Próba ta uzupełniona przez wynki

Skolema i Fraenkla pozwoliła na konstrukcję aksjomatyki teorii mnogości, jednak ceną jaką

należałozatozapłacić,byłakomiecznośćwprowadzeniatakżeregułlogiki.

Literatura

[1] N.Bourbaki– Elementyhistoriimatematyki, PWNWarszawa1980,

[2] A.P. Juszkiewicz – Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasów

nowożytnich) ,Tom1-3,PWNWarszawa1975,

[3] K.Kuratowski, A.Mostowski – Teoria mnogości , Monograﬁe Matematyczne XXVII,War-

szawa1978,

[4] R.Murawski– Filozoﬁa matematyki –zarysdziejów ,WydawnictwoNaukowePWN1995

–4–

Ważneosobyidatywrozwojuteoriimnogości

• Julius Wilhelm Richard DEDEKIND ( ∗ 1831 Braunschweig w Niemczech – † 1916 Braun-

schweigwNiemczech) ,nowoczesnateorialiczbalgebraicznych,prakrojeDedekinda.

1889 Freiburg w Niemczech) ,

badałszeregiliczbowe,aprzytymwniósłwieledoteoriizbiorów.

• Georg FerdynandLudwigCANTOR( ∗ 1845 St Petersburgw Rosji – † 1918 Halle w Niem-

czech) ,twórcateoriimnogości,którawpłynęłanarozwójcałejmatematyki,awszczególnoś-

ci na podstawy współczesnej analizy matematycznej, konstrukcja Cantora liczb rzeczy-

wistych.

• MagnusG¨ostaMITTAG-LEFFLER( ∗ 1846Sztokholm– † 1927Sztokholm) ,twórcaskandy-

nawskiejszkołymatematycznej,przyczyniłsiędouporządkowaniateoriimnogości.

Paul David Gustav DU BOIS-REYMOND (

∗

1831 Berlin –

†

•

1953FreiburgwNiemczech) ,badał

podstawymatematyki, autor fundamentalnych praczteorii mnogości w szczególności ak-

sjomatykiteoriimnogości.

∗

1871Berlin–

†

•

1912 Paryż) ,zajmowałsięwieloma

dyscyplinami matematycznymi, a także ﬁzyką i ﬁlozoﬁą. Jego prace dotyczące podstaw

matematykistanowiłyistotnywkładwrozwójteoriimnogości.

∗

1854 Nancy we Francji –

†

•

1965 Jerozolima) ,wspólniez

FraenklemiCantoremwspółtworzyłwspółczesnąteorięmnogości.

∗

1891 Monachium –

†

•

Friedriech Ludwig Gottlob FREGE (

∗

1848 Wismar w Mecklenburgii-Schwerinie w Niem-

1925 Bad Kleinen w Niemczech) , pierwsze ujęcie rachunku zdań jako sformali-

zowanejteoriiaksjomatycznej.

• Giuseppe PEANO ( ∗ 1858 Cuneo na Sardynii – † 1932 Turyn we Włoszech) ,atytmtyka

jako teoriaaksjomatyczna sformalizowana( Arytmetyka Peano ).

czech –

†

•

1943GetyngawNiemczech) ,

jego badania nad podstawami geometrii (1898-1902) zapoczątkowały nowoczesną, aksjo-

matyczną budowęteorii matematycznych (23 problemyHilberta, teoriaspektralnaopera-

torówliniowych–podstawowyaparatmechanikikwantowej).

∗

1862KrólewiecwPrusachWschodnich–

†

•

1970Penrhyndendraeth

w Walii) , w 1902 r analizując zaproponowany przez Fregego system logicznych podstaw

matematyki zauważył w nim sprzeczność polegającą na tzw. paradoksie klas ( antynomia

Russella ), w 1903 ogłosił „Principles of Mathematics” , w których starał się sprowadzić

teorię mnogości , anawetcałąmatematykę dologiki, w1908 rstworzyłzasadytzw. teorii

typówlogicznych . Wlatach 1910-1913 B.A.W.RussellwrazzAlfredemNorthWhitehea-

dem(

∗

1872RavenscroftwWalii–

†

1847CambridgewMassachusettsUSA)

napisaliiopublikowali „Principia Mathematica” (t. I–III) ,wktórejideąprzewodniąbyło

poszukiwanie podstaw matematyki w zasadach logicznych, rezultatem zaś przedstawienie

matematykiwpostacisystemusformalizowanegooraznadaniewspółczesnegokształtulog-

icematematycznej.

1861RamsgatehrabstwoKentwAnglii–

†

•

1957Waszyngton) ,matematyk,chemik,

ﬁzyk,informatykwspółtwórcabroniatomowej. Jegobadaniazteoriimnogościprzyczyniły

∗

1903Budapeszt–

†

•

ErnstFriedrichFerdinandZERMELO(

Julius Henri POINCAR ´ E(

Adolf Abraham Halevi FRAENKEL (

DavidHILBERT(

BertrandArthurWilliamRUSSEL(

∗

John(Janos)vonNEUMANN(

–5–

siędowykorzystaniauzyskanychprzezniegowynikówwzastosowaniachpraktycznychoraz

douszlachetnieniawieluwyników.

•

1941 Paryż) , twórca ogólnej teorii

miaryicałki. Wtrakciebadańnadtymiteoriamiuzyskałważnedlateoriimnogościwyniki.

∗

1875 Beavais we Francji –

†

•

1969 Warszawa) , badał teorię liczb, topologię

i teorię mnogości. W 1912 roku napisał fundamentalną książkę dotyczącą tej ostatniej

dyscypliny,wktórejzamieściłrównieżwielewłasnychwyników.

∗

1882 Warszawa –

†

•

1978Princeton

wstanieNowyJorkwUSA) ,niepełnośćteoriiaksjomatycznychsformalizowanychzawiera-

jącycharytmetykę. Twierdzenieoniesprzecznościhipotezycontinuumzaksjomatykąteorii

mnogości.

∗

1906Br¨unnwAustrowęgrzechobecnieBrnowCzechach–

†

1980Warszawa) ,jedenztwórcówLwowskiej

SzkołyMatematycznej,badaczteoriimnogości,topologii,teoriigrafów,analizymatematy-

cznejipodstawmatematyki. Jegowynikibadańzpodstawmatematykiprzyczyniłysiędo

uporządkowaniatejdyscypliny(lematKuratowskiego-Zorna).

• Stanisław Marcin ULAM ( ∗ 1909 Lwów – † 1984 Santa Fe w USA) ,twórcametodyMonte

Carlo, wszechstronny matematyk o zdolnościach przenoszenia wyników matematycznych

do innych nauk. Jego prace z teorii procesów stochastycznych, równań różniczkowych

cząstkowych,analizyfunkcjonalnejorazichzastosowaniawﬁzyceprzyczyniłysiędobadań

problemówteoriimnogości. Niektórezjegowynikówpracpozostająutajnionepodziśdzień,

zewzględunaichwykorzystanieprzykonstrukcjibombyatomowejiwodorowej. Bezspornie

StanisławUlam jestuważany zatwórcę koncepcjibombywodorowej, byłontakże stałym

konsultantemwtrakciejejbudowy.

KazimierzKURATOWSKI(

∗

1896Warszawa–

†

•

1934 LongBranch,NewJersey) ,niezależność hipotezycontinuum

(1963),medalFieldsaw1966.

∗

Henri Leon LEBESGUE (

Wacław SIERPIŃSKI (

KurtGODEL(

•

PaulJosephCOHEN(

Szuster Janusz - Wstęp do teorii mnogości.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: