3
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
Definicja. Jeżeli iloraz różnicowy funkcji f w punkcie a ma granicę przy , to granicę tę oznaczamy przez i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie a.
A zatem
.
Uwagi. Jeśli to . Pochodną można zapisywać na dwa sposoby: , gdzie jest operatorem różniczkowania (obliczania pochodnej). Zatem dowolnej funkcji f można przyporządkować nową funkcję () zwaną funkcją pochodną, albo krócej – pochodną. Jeżeli pochodna jest określona w punkcie , to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie . Jeżeli pochodna jest określona w każdym punkcie x pewnego zbioru , to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze .
Przykłady.
1. Niech i będzie dowolnym punktem. Wówczas . Ponieważ jest dowolnym punktem, możemy więc powiedzieć ogólnie, że .
2. Niech . Wówczas
Ogólnie dla :
3. Niech Wówczas
4. gdzie Obliczamy
a zatem
5. Pochodna funkcji (n- liczba naturalna):
(wykorzystaliśmy tu wzór dwumienny Newtona). Zatem
W szczególności , ,
6. Pochodna funkcji wykładniczej: (ZD).
W szczególności .
7. Pochodna funkcji logarytmicznej: (ZD).
Interpretacja geometryczna pochodnej
Jeśli (patrz rys. ??), to i . Z drugiej strony . Zatem , czyli pochodna w punkcie równa się tangensowi kąta nachylenia stycznej w tym punkcie.
Definicja. Styczną do krzywej o równaniu w danym punkcie nazywamy
prostą przechodzącą przez ten punkt, której współczynnik kierunkowy jest równy . Normalna do krzywej f w punkcie a jest to prosta prostopadła do stycznej w tym punkcie i przechodząca przez punkt styczności.
Uwagi. Jeżeli jest kątem nachylenia stycznej do osi OX, to . Równanie stycznej w punkcie a ma zatem postać
,
zaś równanie normalnej
Podstawowe twierdzenia o pochodnej
Definicja. Pochodną prawostronną /lewostronną/ funkcji f w punkcie a nazywamy skończoną granicę //. Prostą o równaniu // nazywamy styczną lewostronną /prawostronną/ do krzywej .
Z dotychczasowych wiadomości o granicach funkcji wynika następujące
Twierdzenie. Funkcja jest różniczkowalna w punkcie a wtedy i tylko wtedy gdy istnieje w tym punkcie pochodna prawostronna i lewostronna i są one sobie równe. Krzywa posiada styczną w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy posiada styczną lewostronną i prawostronną, które się pokrywają.
Przykłady. Rozpatrzmy funkcję . Jej iloraz różnicowy w punkcie wynosi
Iloraz ten nie ma granicy gdy , istnieje natomiast granica prawostronna równa 1 i lewostronna równa -1.
Funkcja nie ma więc pochodnej w punkcie , ma zaś w tym punkcie pochodną prawostronną równą 1 i lewostronną równą -1.W punkcie krzywa będąca wykresem tej funkcjj nie ma stycznej, natomiast istnieje styczna lewostronna (o równaniu) i styczna prawostronna o równaniu .
Twierdzenie. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jest w nim ciągła.
Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x. Wówczas . KD.
Uwagi. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe (patrz przykład wyżej).
Twierdzenie. Jeśli funkcje u i v są różniczkowalne w a, to istnieją pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji u i v w punkcie a i są one równe odpowiednio:
Dowód (dla ilorazu funkcji). Ponieważ ,
zatem
Wykorzystaliśmy tu definicję iloczynu funkcji i fakt, że istnieją pochodne , a zatem funkcje u i v są ciągłe w a. KD.
1. Bezpośrednio z wzoru na pochodną iloczynu wynika, że ,
gdzie k jest stałą.
2. Jeśli , to .
3. Dla , mamy .
Twierdzenie (O pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie równą , a funkcja ma pochodną w punkcie , to funkcja złożona ma pochodną w punkcie równą .
Uwaga. Krótko (lecz nieprecyzyjnie): .
Dowód. Niech . Jeśli , to kolejno: (istnieje , więc g jest w ciągła).
Z założeń wynika więc, że:
. KD.
1. . Jest , gdzie . Ponieważ oraz , więc
2. Funkcja jest dwukrotnie złożona. Obliczamy:
3. Dla mamy .
4. Niech ...
miromaj123