1-1-logika__granice.doc

22

Logika i rachunek zbiorów.

              Definicja. Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe.

              Uwagi. Istnieje wiele zdań w języku mówionym, które nie są zdaniami logicznymi.

              Znamy ze szkoły średniej następujące podstawowe działania logiczne:

                            -              negacja (zaprzeczenie zdania),

                            -              i (koniunkcja lub iloczyn zdań),

                            -              lub (alternatywa lub suma zdań),

                            -              implikacja („to”, wynikanie zdań),

                            -              równoważność („wtedy i tylko wtedy”, równość zdań).

              albo              -              alternatywa wykluczająca zdań.

Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz, co ilustruje tabelka zero-jedynkowa, w której „0” oznacza wartość logiczną „fałsz”, a „1” wartość logiczną „prawda”:

Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p  i  q  są jednocześnie prawdziwe albo fałszywe:

jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jedno ze zdań składowych jest prawdziwe i drugie fałszywe:

              Przy pomocy powyższych działań logicznych można tworzyć bardziej złożone zdania logiczne. Wśród zdań logicznych ważną rolę odgrywają zdania zawsze prawdziwe.

              Definicja. Prawem logicznym (tautologią) nazywamy zdanie logiczne zawsze prawdziwe.

              Uwagi. Tautologie dowodzimy przy pomocy tabelki zero-jedynkowej. Następujące zdania są tautologiami (zakładamy tu , że p, q, r  są zdaniami logicznymi):

                                                        (prawo tożsamości),

                                                                      (prawo podwójnego zaprzeczenia),

                                                                      (prawo wyłączonego środka),

                                                                      (prawo sprzeczności),

                            (prawo sylogizmu).

Prawa de Morgana:

              ,

              .

Dowód pierwszego prawa de Morgana przeprowadzimy metodą zerojedynkową:

Prawa de Morgana można uogólnić na dowolną skończoną liczbę zdań:

              ,

              .

Prawo kontrapozycji:

Dowód:

              Twierdzenia matematyczne

              Każde twierdzenie matematyczne można wyrazić w postaci implikacji , gdzie Z oznacza Założenia, a T – Tezę twierdzenia. Naturalnie często spotyka się twierdzenia w innych postaciach, np. „Teza, jeśli zachodzą Założenia”. Fałszywość twierdzenia dowodzimy wskazując konkretny przykład (tzw. kontrprzykład) obiektów spełniających Założenia i niespełniających Tezy. Prawdziwość twierdzenia można dowodzić metodą wprost i niewprost. Przy najczęściej stosowanej metodzie wprost zakładamy, że prawdziwe są Założenia i wnioskujemy Tezę. Przy dowodzeniu niewprost zakładamy Założenia i zaprzeczenie Tezy (a więc możemy skorzystać z większej ilości informacji niż w dowodzie wprost), a należy wywnioskować jakąkolwiek sprzeczność (z tym co zakładaliśmy albo z jakimkolwiek innym twierdzeniem matematycznym, np. jeśli dowodząc niewprost otrzymamy wniosek , to oznacza to sukces metody niewprost, czyli udowodnienie danego twierdzenia).

              Dla każdego twierdzenia można utworzyć jego kontrapozycję i twierdzenie odwrotne.

              Definicja. Twierdzenie nazywamy odwrotnym do twierdzenia , zaś twierdzenie kontrapozycją twierdzenia ...