17. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych.pdf
(
214 KB
)
Pobierz
Microsoft Word - 17statec.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Stateczno
Ļę
osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów prostych
17. STATECZNO
ĺĘ
OSIOWO
ĺ
CISKANYCH PR
Ħ
TÓW PROSTYCH
17.1. Stateczno
Ļę
pr
ħ
ta w zakresie liniowo spr
ħŇ
ystym.
Jednym z podstawowych zało
Ň
e
ı
przyj
ħ
tych na pocz
Ģ
tku naszych rozwa
Ň
a
ı
było to,
Ň
e
analizowane przez nas konstrukcje znajduj
Ģ
si
ħ
w równowadze trwałej (inaczej statecznej) ale
jak dot
Ģ
d, prócz prostych obja
Ļ
nie
ı
, nie zostały sformułowane
Ň
adne analityczne warunki
gwarantuj
Ģ
ce tak
Ģ
równowag
ħ
lub jak powiemy w j
ħ
zyku in
Ň
ynierskim gwarantuj
Ģ
ce
stateczno
Ļę
konstrukcji. Utrata stateczno
Ļ
ci konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle wa
Ň
nym
i skomplikowanym - i co wi
ħ
cej - stanowi jedn
Ģ
z przyczyn wyst
Ģ
pienia stanu granicznego
no
Ļ
no
Ļ
ci. Konieczno
Ļę
uwzgl
ħ
dnienia utraty stateczno
Ļ
ci w analizie mechanicznej
zachowania si
ħ
konstrukcji dobitnie obrazuje nast
ħ
puj
Ģ
ce zadanie
1
, w którym nale
Ň
y
wyznaczy
ę
dopuszczaln
Ģ
wysoko
Ļę
stalowego pr
ħ
ta prostego o polu przekroju poprzecznego
A
= 1cm
2
, obci
ĢŇ
onego tylko ci
ħŇ
arem własnym g = 78.50 kN/m
3
, wykonanego ze stali o
wytrzymało
Ļ
ci obliczeniowej przy
Ļ
ciskaniu
=
215
g
l
A
R
215
*
10
6
£
R
®
l
£
c
=
=
2
.
739
*
10
3
m
.
c
A
g
78
.
5
*
10
3
Jest rzecz
Ģ
oczywist
Ģ
,
Ň
e nie ma mo
Ň
liwo
Ļ
ci realizacji konstrukcji o tych wymiarach z
zachowaniem jej prostoliniowego kształtu (jak to jest zało
Ň
one w wykonanych obliczeniach) i
w j
ħ
zyku in
Ň
ynierskim powiemy,
Ň
e konstrukcja taka musi utraci
ę
swoj
Ģ
stateczno
Ļę
.
Zajmiemy si
ħ
teraz podaniem analitycznych warunków zapewnienia równowagi statecznej dla
bardzo prostej konstrukcji, jak
Ģ
jest osiowo
Ļ
ciskany pr
ħ
t pryzmatyczny, wykonany z
materiału o własno
Ļ
ciach fizycznych okre
Ļ
lonych prawem Hooke’a.
Zaczniemy od prostego „ideowego” obja
Ļ
nienia trzech postaci równowagi w jakich
konstrukcja mo
Ň
e si
ħ
znajdowa
ę
.
Je
Ň
eli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego poło
Ň
enia równowagi ruch ciała jest
taki,
Ň
e wychylenia jego punktów nie s
Ģ
wi
ħ
ksze tych pocz
Ģ
tkowych to tak
Ģ
równowag
ħ
nazywamy stateczn
Ģ
(trwał
Ģ
).
I
II
III
W przeciwnym przypadku równowaga
jest niestateczna (nietrwała, chwiejna).
Mo
Ň
na jeszcze wyró
Ň
ni
ę
szczególne
poło
Ň
enie równowagi zwane
równowag
Ģ
oboj
ħ
tna w której punkty
ciała pozostaj
Ģ
w poło
Ň
eniu po
wychyleniu. Opisan
Ģ
sytuacj
ħ
mo
Ň
na
zobrazowa
ę
traktuj
Ģ
c konstrukcj
ħ
jako
ci
ħŇ
k
Ģ
kulk
ħ
w ró
Ň
nych warunkach
podparcia
Rys. 17.1
znajduj
Ģ
c
Ģ
si
ħ
w
potencjalnym polu sił (rys. 17.1).
Równowadze statecznej
I
odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze
chwiejnej
III
maksimum. W stanie równowagi oboj
ħ
tnej
II
warto
Ļę
energii potencjalnej przy
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.
Przykład wzi
ħ
ty z ksi
ĢŇ
ki S.Piechnik. Wytrzymało
Ļę
Materiałów dla Wydziałów Budowlanych. PWN 1972.
231
R
MPa.
Warunek stanu granicznego no
Ļ
no
Ļ
ci zwi
Ģ
zanego jedynie z nie przekroczeniem
wytrzymało
Ļ
ci obliczeniowej przy
Ļ
ciskaniu, daje ni
Ň
ej wyznaczon
Ģ
, dopuszczaln
Ģ
wysoko
Ļę
pr
ħ
ta
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Stateczno
Ļę
osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów prostych
17.2. Siła krytyczna
Zagadnienie utraty stateczno
Ļ
ci
Ļ
ciskanego osiowo pr
ħ
ta pryzmatycznego rozwi
ĢŇ
emy w
sposób podany przez L.Eulera w 1744 r.
Rozwa
Ň
my, pokazany na rys. 17.2,
Ļ
ciskany osiowo sił
Ģ
P
pr
ħ
t przegubowo podparty na obu
ko
ı
cach, wykonany z materiału liniowo spr
ħŇ
ystego o module Younga
E
i nadajmy mu
Z
w
Z
Y
w(x)
P
kr
X
l
P
kr
J
y
= J
min
Rys. 17.2
jakim
Ļ
impulsem poprzecznym dowolnie małe pocz
Ģ
tkowe ugi
ħ
cie w płaszczy
Ņ
nie
najmniejszej sztywno
Ļ
ci zginania. Je
Ň
eli po usuni
ħ
ciu przyczyny ugi
ħ
cia powróci on do swej
pocz
Ģ
tkowej prostoliniowej postaci, oznacza to,
Ň
e znajduje si
ħ
w równowadze statecznej.
Powtarzaj
Ģ
c rozumowanie wraz ze zwi
ħ
kszaniem warto
Ļ
ci siły
P
dojdziemy do sytuacji, w
której pr
ħ
t po usuni
ħ
ciu przyczyny pocz
Ģ
tkowego ugi
ħ
cia pozostanie krzywoliniowy (nie
powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy)
.
Oznacza to,
Ň
e tym razem pr
ħ
t znajduje
si
ħ
w stanie równowagi oboj
ħ
tnej, a sił
ħ
, przy której to nast
Ģ
piło nazywa
ę
b
ħ
dziemy sił
Ģ
krytyczn
Ģ
kr
M
x
=
P
kr
w
( )
x
,
(17.1)
a równanie ró
Ň
niczkowe jego ugi
ħ
tej osi przyjmuje form
ħ
:
d
2
w
( )
x
M
( )
x
=
−
,
(17.2)
dx
2
EJ
min
z której otrzymujemy równanie ró
Ň
niczkowe wi
ĢŇĢ
ce ugi
ħ
cie z sił
Ģ
krytyczn
Ģ
:
( )
2
w
x
P
( )
0
+
kr
w
x
=
.
(17.3)
dx
2
EJ
min
Przyjmuj
Ģ
c oznaczenie:
k
=
2
P
kr
,
(17.4)
EJ
min
zapiszemy je w postaci:
( )
2
w
x
( )
0
+
k
2
w
x
=
,
(17.5)
dx
2
którego rozwi
Ģ
zaniem jest funkcja:
( )
x
=
A
sin +
kx
B
cos
kx
.
(17.6)
Stałe całkowania
A
oraz
B
wyznaczymy z kinematycznych warunków brzegowych:
232
P
. Tak wi
ħ
c:
siła krytyczna to siła przy której osiowo
Ļ
ciskany pr
ħ
t znajduje si
ħ
w stanie równowagi
oboj
ħ
tnej.
Wyliczmy t
ħ
sił
ħ
krytyczn
Ģ
. Równanie momentów w zakrzywionym pr
ħ
cie przy obci
ĢŇ
eniu
sił
Ģ
krytyczn
Ģ
ma posta
ę
:
( )
d
d
w
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Stateczno
Ļę
osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów prostych
w
( )
0
oraz
( )
0
w
l
=
.
(17.7)
Pierwszy warunek daje
B
=
0
, natomiast drugi zale
Ň
no
Ļę
0 =
A
sin
kl
, z której przy zało
Ň
eniu
Ň
e
A
¹
0
(rozwa
Ň
amy pr
ħ
t zakrzywiony, wi
ħ
c równocze
Ļ
nie nie mo
Ň
e by
ę
B
=
0
i
A
=
0
),
dostajemy:
sin
kl
=
0
®
k
=
n
p
,
n
=
1
2
3
,....
l
Korzystaj
Ģ
c z (17.4), dla kolejnych liczb naturalnych otrzymujemy:
p
2
EJ
( )
p
n
=
1
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
l
2
l
l
4
p
2
EJ
( )
2
p
n
=
2
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
2
l
2
l
l/2
l/2
9
p
2
EJ
( )
3
p
n
=
3
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
l
2
l
l/3
l/3
l/3
n
. W
tym miejscu warto zwróci
ę
uwag
ħ
,
Ň
e impuls poprzeczny wywołuj
Ģ
cy to wst
ħ
pne
zakrzywienie potrzebny jest tylko w rozwa
Ň
aniach teoretycznych. W rzeczywisto
Ļ
ci
odst
ħ
pstwa od idealnych zało
Ň
e
ı
, np. idealnej prostoliniowo
Ļ
ci pr
ħ
ta, osiowo
Ļ
ci przyło
Ň
enia
siły czy jednorodno
Ļ
ci materiału, same zawsze spowoduj
Ģ
wyboczenie pr
ħ
ta.
Wyniki analizy pr
ħ
tów o innych warunkach podparcia pozwalaj
Ģ
napisa
ę
jednolity wzór na
sił
ħ
krytyczn
Ģ
, nazywan
Ģ
sił
Ģ
krytyczn
Ģ
Eulera, w postaci:
=
1
p
2
EJ
P
E
kr
=
min
,
(17.8)
l
2
w
gdzie:
l
w
= ,
l
(17.9)
nazywamy długo
Ļ
ci
Ģ
wyboczeniow
Ģ
.
Warto
Ļ
ci współczynnika długo
Ļ
ci wyboczeniowej a zale
Ň
nego od warunków podparcia
podano na rys. 17.3.
l
a = 1
a =
2
a =0.7
a = 0.5
a = 1
a =
2
Rys. 17.3
233
0 =
.............,
co dowodzi,
Ň
e ka
Ň
dej warto
Ļ
ci siły krytycznej odpowiada inna forma deformacji pr
ħ
ta, albo -
inaczej - inna posta
ę
wyboczonego pr
ħ
ta, ale wszystkie s
Ģ
sinusoidami.
Jest rzecz
Ģ
oczywist
Ģ
,
Ň
e za sił
ħ
krytyczn
Ģ
uznamy t
ħ
najmniejsz
Ģ
, odpowiadaj
Ģ
c
Ģ
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Stateczno
Ļę
osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów prostych
17.3. Napr
ħŇ
enia krytyczne
Zakres wa
Ň
no
Ļ
ci wzoru Eulera na sił
ħ
krytyczn
Ģ
jest ograniczony własno
Ļ
ciami fizycznymi
materiału
Ļ
ciskanego pr
ħ
ta. Poniewa
Ň
materiał analizowanego przez nas pr
ħ
ta był z zało
Ň
enia
materiałem liniowo spr
ħŇ
ystym to napr
ħŇ
enia normalne w pr
ħ
cie nie mog
Ģ
przekracza
ę
R
-
granicy stosowalno
Ļ
ci prawa Hooke’a (granicy proporcjonalno
Ļ
ci).
W celu wyznaczenia zakresu stosowalno
Ļ
ci wzoru (17.8) dokonamy jego przekształcenia.
Wpierw podzielimy obustronnie przez pole przekroju poprzecznego
A
P
E
kr
p
2
EJ
=
min
,
A
A
l
2
w
a nast
ħ
pnie, definiuj
Ģ
c poj
ħ
cie napr
ħŇ
enia krytycznego:
s
kr
=
P
kr
,
(17.10)
A
i smukło
Ļ
ci pr
ħ
ta:
l
l
w
,
(17.11)
i
min
min
= - jest minimalnym promieniem bezwładno
Ļ
ci przekroju
poprzecznego, mo
Ň
emy otrzyma
ę
zale
Ň
no
Ļę
:
i
J
min
/
A
p
2
E
s
E
kr
=
(17.12)
l
2
w której:
s
E
kr
=
P
kr
oznacza napr
ħŇ
enie krytyczne Eulera.
A
s
kr
jest hiperbola, której
zakres wa
Ň
no
Ļ
ci jest ograniczony od góry, na osi rz
ħ
dnych, warto
Ļ
ci
Ģ
R
. Odpowiadaj
Ģ
c
Ģ
tej warto
Ļ
ci napr
ħŇ
e
ı
krytycznych
k
s , smukło
Ļę
nazwiemy smukło
Ļ
ci
Ģ
graniczn
Ģ
i
wyznaczymy z warunku:
p
2
E
E
R
=
®
l
=
p
.
(17.13)
H
l
2
gr
R
gr
H
s
kr
prosta Tetmajera-Jasi
ı
skiego
R
hiperbola Eulera
R
H
l
l
234
gdzie:
Na wykresie zale
Ň
no
Ļ
ci
k
s od l(rys. 17.4), wykresem funkcji
(
l
gr
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Stateczno
Ļę
osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów prostych
l³ i napr
ħŇ
enia krytyczne s
Ģ
opisane
wówczas przez hiperbol
ħ
Eulera, a pr
ħ
t pracuje w zakresie linio spr
ħŇ
ystym.
W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy, jednak cz
ħ
sto, analizowa
ę
utrat
ħ
stateczno
Ļ
ci
równie
Ň
w zakresie nieliniowo spr
ħŇ
ystym i spr
ħŇ
ysto plastycznym, dla których smukło
Ļę
spełnia nierówno
Ļę
l
gr
0
£
l<
l
gr
.
W stanach poza liniowo spr
ħŇ
ystych posługiwa
ę
si
ħ
b
ħ
dziemy zale
Ň
no
Ļ
ciami ustalonymi
empirycznie, z których najbardziej znanymi s
Ģ
, prosta Tetmajera-Jasi
ı
skiego okre
Ļ
lona
wzorem:
s
T
kr
−
J
=
a
−
b
l
,
(17.14)
oraz parabola Johnsona-Ostenfelda zdefiniowana równaniem:
s
J
kr
−
O
=
A
−
B
l
.
(17.15)
W obu powy
Ň
szych zale
Ň
no
Ļ
ciach
a,
b, A
oraz
B
to stałe materiałowe.
Aproksymacja krzywej teoretycznej prost
Ģ
Tetmajera-Jasi
ı
skiego (patrz rys. 17.4) zakłada,
Ň
e
dla pr
ħ
tów ,których smukło
Ļę
0
s
T
kr
−
J
=
R
e
dla
l
= 0
®
a
=
R
e
,
s
T
kr
−
J
=
R
dla
l
=
l
®
R
=
a
−
b
l
®
b
=
R
e
−
R
H
=
R
e
−
R
H
R
H
,
H
gr
H
gr
l
p
E
gr
gdzie:
R
e
- wyra
Ņ
na granica plastyczno
Ļ
ci. Zatem ostatecznie napr
ħŇ
enie krytyczne według
Tetmajera-Jasi
ı
skiego mo
Ň
na zapisa
ę
w postaci wzoru:
s
T
kr
−
J
=
R
−
R
e
−
R
H
R
H
l
.
(17.16)
e
p
E
17.4. Wymiarowanie osiowo
Ļ
ciskanych pr
ħ
tów z uwzgl
ħ
dnieniem utraty stateczno
Ļ
ci
Poprawnie zaprojektowany osiowo
Ļ
ciskany pr
ħ
t winien spełnia
ę
równocze
Ļ
nie dwa,
niezale
Ň
ne od siebie warunki stanu granicznego no
Ļ
no
Ļ
ci tzn. był wytrzymały i znajdował si
ħ
w równowadze statecznej. Warunki te wymagaj
Ģ
aby siła obci
ĢŇ
aj
Ģ
ca
P
spełniała
nierówno
Ļ
ci:
P
£
A
*
R
i
P
£
P
kr
,
gdzie:
A
to pole przekroju poprzecznego pr
ħ
ta.
W praktyce in
Ň
ynierskiej przy projektowaniu konstrukcji stalowych korzystamy z jednego
warunku, wyst
ħ
puj
Ģ
cego w Polskich Normach Budowlanych, spełniaj
Ģ
cego równocze
Ļ
nie oba
te kryteria. Warunek ten mo
Ň
na otrzyma
ę
wychodz
Ģ
c z nierówno
Ļ
ci zapewniaj
Ģ
cej
równowag
ħ
stateczn
Ģ
:
P
£
P
kr
®
P
£
s
kr
( )
A
l
.
(17.17)
235
Rys. 17.4
Zatem wzór Eulera jest wa
Ň
ny dla smukło
Ļ
ci
l (pr
ħ
tów kr
ħ
pych) stan graniczny no
Ļ
no
Ļ
ci osi
Ģ
gany jest
przez uplastycznienie a nie poprzez utrat
ħ
stateczno
Ļ
ci i st
Ģ
d stałe
a
i
b
we wzorze
wyznaczone s
Ģ
z warunków :
Plik z chomika:
miromaj123
Inne pliki z tego folderu:
belkitematy.jpg
(1522 KB)
wmat7.ppt
(1182 KB)
9. Osiowe rozciąganie i ściskanie.pdf
(384 KB)
15. Skręcanie prętów o przekroju kołowo symetrycznym i prostokątnym.pdf
(252 KB)
14. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie.pdf
(209 KB)
Inne foldery tego chomika:
bezwładność
mechanika i wytrzymałość
projekt 2
rozciąganie
ściągi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin