Repetytorium.pdf

(299 KB) Pobierz
50
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
Równania i nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą
3.1.
Teoria
ciekawostka
Równanie wielomianowe to równość dwóch wyrażeń algebraicz-
nych. Każda liczba, która po podstawieniu w miejscu niewiadomej
w równaniu o jednej niewiadomej daje równość prawdziwą, jest roz-
wiązaniem tego równania. W przypadku równań z jedną niewiadomą
możemy mówić o równaniach stopnia pierwszego , gdy niewiado-
ma występuje w pierwszej potędze, są to równania typu: ax += 0
o niewiadomej x , a także o równaniach wyższych stopni. Równanie
pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może mieć jedno rozwiąza-
nie, nieskończenie wiele rozwiązań – równanie tożsamościowe , lub
nie mieć żadnego rozwiązania – równanie sprzeczne . Rozwiązując
równania wykorzystuje się metodę równań równoważnych . Dwa
równania nazwiemy równoważnymi, jeśli mają takie same zbiory roz-
wiązań. Chcąc rozwiązać równanie możemy:
> do obu stron równania dodać jednomian;
> od obu stron równania odjąć jednomian;
> obie strony równania pomnożyć przez liczbę różną od zera lub po-
dzielić przez liczbę różną od zera;
> uprościć wyrażenia znajdujące się po każdej stronie równania –
opuszczając nawiasy, redukując wyrazy podobne.
Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą (równanie drugiego
stopnia) to równanie typu ax
François Viète (1540–1603) z wykształ-
cenia był prawnikiem, ale najbardziej
znany jest ze swych osiągnięć mate-
matycznych (choć w tej dziedzinie był
tylko samoukiem). Jako pierwszy wpadł
na pomysł, by w równaniach oznaczyć
literami nie tylko niewiadome, ale także
współczynniki. Dzięki temu mógł odkryć
swoje słynne wzory (patrz rozdział 3.3).
2
++= o niewiadomej x , gdzie
bx
c
0
0 . Niewiadoma w tym równaniu występuje w drugiej
potędze. Liczby a , b i c nazywamy współczynnikami równania.
abc
,,
∈≠
,
a
Przykład
Przykłady równań kwadratowych:
3270
x
2
−+=
x
,
(tu:
a b
= =− =
3
,
2 7
,
c
)
1
2
1
2
−−=
2
x
2
x
0
,
(tu:
a
=− =− =
2
,
b
,
c
0
)
4160
x
2
−=
,
(tu:
a
= = =−
4 0
,
b
,
c
16
)
802387158.048.png 802387158.055.png 802387158.056.png 802387158.057.png 802387158.001.png 802387158.002.png 802387158.003.png
 
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
51
REPETYTORIUM
Teoria
2
Wyrażenie ax
nazywamy trójmia-
nem kwadratowym , a rozwiązania odpowiadającego mu równania
kwadratowego – pierwiastkami trójmianu . W celu rozwiązania
równania kwadratowego wystarczy najpierw wyznaczyć wyróżnik
trójmianu – ozn.
++
bx
c
,
gdzie
a b c
, ,
∈ ≠
,
a
0
Δ
(delta). Stosujemy wówczas następujący wzór:
4 .
Od znaku wyróżnika równania kwadratowego (
2
Δ= −
b c
Δ
) zależna jest liczba
rozwiązań tego równania.
Δ> 0 , to równanie ma dwa różne rozwiązania , które może-
my znaleźć, stosując wzory:
> Jeśli
b
b
= −− Δ
= −+ Δ
x
oraz
x
.
1
2
2
a
2
a
> Jeśli
Δ= 0 , to równanie ma jedno rozwiązanie , które można
obliczyć, stosując wzór:
= 2
b
a
.
x
> Jeśli
Δ< 0 , to równanie nie ma rozwiązań .
Rozwiązania równania kwadratowego ax
++= są miejscami
zerowymi funkcji kwadratowej y x xc
2
bx
c
0
=++
2
. Wynika to z defi nicji
miejsca zerowego funkcji.
Przykład
Rozwiąż równania:
x
2
−−= .
450
x
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
Δ= () −⋅⋅ () =+=
2
.
Ponieważ Δ> 0 , to równanie ma dwa rozwiązania. Podstawiając
otrzymaną wartość do podanych wzorów, mamy:
441
516 0 6
= − ( −
= − ( +
4
6
4
36
x
oraz
x
,
1
2
2
2
46
2
−
46
2
+
x
=
oraz
x
=
,
1
2
x
=−
1
oraz
x
=
5
.
1
2
802387158.004.png 802387158.005.png 802387158.006.png 802387158.007.png 802387158.008.png 802387158.009.png 802387158.010.png 802387158.011.png 802387158.012.png 802387158.013.png 802387158.014.png 802387158.015.png
 
52
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
zobacz s.15
4230
x
2
++= .
x
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
Δ= −⋅⋅=− =−
.
Ponieważ Δ< 0 , to równanie nie ma rozwiązania.
2
2
443
4
48
44
−+−=
x
2
690 .
x
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
Δ= − ⋅ ( ⋅ () =−=
2
.
Ponieważ Δ= 0 , to równanie ma jedno rozwiązanie, które obliczymy
ze wzoru:
6
4
1
9
36
36
0
= −
6
2
x
− =
3 .
(
) +
(
) =−
(
) −
x
−
3
x
2
2
x x
2
2
x
Chcąc rozwiązać to równanie, należy najpierw zapisać je w postaci:
ax
2
++=
bx
c
0
,
gdzie
a b c
, , ,
∈ ≠
,
a
0
.
Przekształcając je otrzymujemy:
x
2
2
2362 42
+−−= −−
xx
x
x
x
x
x
2
2
62
−−= −
−+ −=
x x
6
2 560
Możemy teraz wyznaczyć wyróżnik trójmianu:
Δ= − ⋅ ( ⋅ () =−=
x
x
2
.
Równanie ma zatem dwa rozwiązania, które są równe:
5
4
1
6
25
24
1
= −−
−
51
2
= −+
−
51
2
x
oraz
x
,
1
2
= −
−
6
2
= −
−
4
2
x
oraz
x
,
1
2
x
=
3
oraz
x
=
2
.
1
2
Teoria
Spotykamy także równania kwadratowe, w których jeden ze współczynni-
ków: b bądź c jest równy 0. Są to równania kwadratowe niezupełne .
Jeżeli b
= 00
,
c
, to równanie kwadratowe przyjmuje postać:
2
. Równanie to może mieć dwa rozwiązania albo może nie
mieć ich w ogóle. Wyznaczając niewiadomą z powyższego równania,
otrzymujemy:
ax
+=
c
0
c
a
.
2
x
=−
802387158.016.png 802387158.017.png 802387158.018.png 802387158.019.png 802387158.020.png 802387158.021.png 802387158.022.png 802387158.023.png 802387158.024.png 802387158.025.png 802387158.026.png 802387158.027.png 802387158.028.png 802387158.029.png 802387158.030.png 802387158.031.png
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
53
REPETYTORIUM
c
a
Jeśli −<
0 , to równanie nie ma rozwiązania.
c
a
c
a
Jeśli
−>
0 , to równanie ma dwa rozwiązania: x
=± −
.
Jeżeli c
= 00
,
b
, to równanie kwadratowe przyjmuje postać:
2
+= . Równanie to ma dwa rozwiązania. Możemy je wyzna-
czyć, korzystając z równoważności:
ax
bx
0
⎛
⎜
b
a
⎞
⎠
b
a
⎟ =⇔=∨ −
ax x
+
0
x
0
x
.
Przykład
ciekawostka
Rozwiąż równania:
2
.
−+=
250
x
x
Nie zawsze w celu rozwiązania równania
kwadratowego musimy wyznaczać
wyróżnik tego równania i stosować
przedstawione wzory. Niektóre równania
jesteśmy w stanie zapisać tak, aby ich
rozwiązania były od razu możliwe do
odczytania. Pomocna może okazać się
wówczas znajomość wzorów skróconego
mnożenia.
Przykładem takiego równania może być:
41290
⎛
⎝
⎞
⎠
5
2
5
2
⎟ =⇔=∨=
⎜
.
−+=⇔−−
250
x
2
x
2
x x
0
x
0
x
5
2
Zatem x
=
0
o raz
x
=
.
1
2
2
−= .
940
x
Dane równanie jest równoważne równaniu
94
2
x
=
.
Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy,
równanie to możemy zapisać:
23 0
x
2
−+=
x
4
9
x 2
.
=
2
( ) = .
Równanie to jest równoważne następu-
jącemu:
230
x
4
9
Stąd x
=±
2
3
2
3
x
= −
,
x
.
Rozwiązując je otrzymujemy:
23
x
−=
1
2
x
=
3
2
2
−−=
230
x
.
.
x
=
Dane równanie jest równoważne równaniu
− 23
Rozpatrywane równanie kwadratowe ma
zatem jedno podwójne rozwiązanie:
x =
x
2
3
2
.
3
2
x 2
=−
Nie istnieje liczba spełniająca uzyskane, a więc i dane równanie, po-
nieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną.
802387158.032.png 802387158.033.png 802387158.034.png 802387158.035.png 802387158.036.png 802387158.037.png 802387158.038.png 802387158.039.png 802387158.040.png 802387158.041.png 802387158.042.png 802387158.043.png 802387158.044.png 802387158.045.png 802387158.046.png
 
54
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
Teoria
Posiadając wiedzę i umiejętności pozwalające rozwiązywać równania
kwadratowe, możemy także rozwiązać niektóre równania wyższych
stopni. Przykładem mogą być pewne równania czwartego stopnia, któ-
re dzięki wprowadzeniu nowej zmiennej dają się sprowadzić do równań
kwadratowych. Są to tak zwane równania dwukwadratowe .
Przykład
4
2
Przykładem takiego równania jest: x
−+=
13
x
36
0
.
() −+=
W celu rozwiązania tego równania wystarczy wprowadzić nową zmien-
ną wykonując podstawienie: tx
2
2
2
Możemy je zapisać w następujący sposób:
x
13
x
36
0
2
.
Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe z niewiadomą t :
t
=
−+= .
Rozwiązując to równanie otrzymujemy:
Δ= − ⋅ = − = =
2
13
t
36
0
13
2
4 36
169
144
25
5
2 .
Równanie: t
2
−+= ma zatem dwa rozwiązania:
13
t
36
0
13
− =
5
13
+
5
.
t
=
4
oraz
t
=
=
9
1
2
2
2
Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie równania z niewiadomą t .
Podając rozwiązania początkowego równania, wystarczy zauważyć, że:
Jeżeli t
2
=
4
to
x
=
4
, więc x
=
2
oraz
x
=−
2
.
1
2
2
Jeżeli t
=
9
to
x
=
9
, więc x
=
3
oraz
x
=−
3
.
3
4
Równanie: x
4
2
ma zatem cztery różne rozwiązania:
−+=
13
x
36
0
−−
3223
,
,
,
.
Teoria
Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą to nierówności
powstałe z równań kwadratowych z jedną niewiadomą poprzez zastą-
pienie znaku równości jednym ze znaków: <>≤≥
,
,
,
.
Przykład
Przykłady nierówności kwadratowych:
2
2530
x
−+<
x
,
−+−>
25
,
x
2
15
,
x
05
,
0
,
802387158.047.png 802387158.049.png 802387158.050.png 802387158.051.png 802387158.052.png 802387158.053.png 802387158.054.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin