Dana jest przestrzeń probabilistyczna
<W, F, P>
W - zbiór zdarzeń elementarnych
P – prawdopodobieństwo określone na F
F (tał) – klasa zbioru W o właściwościach:
1. W Î F
2. A Î F to A’=W - A Î F
3. Ai Î F to Ui=1 niesk Ai Î F
Def. (prawdopodobieństwa)
P:F ® R
1.[dla każdego A ÎF ] P(A) ³0
2.P(W)=1
3. [dla każdego A,B Î F i A ÇB=Æ] P(AÈB) = P(A) + P(B)
W={w1, w2} w1 – orzeł; w2 – reszka
P(w1) = P(w2) = ½
F = {W, {w1},{w2}, Æ}
P(A) = mocA/mocW
Na linii telef. o dł. AB(=L) (przerwanie linii jest jednakowo możliwe) nastąpiło przerwanie. Oblicz prawd, że pkt C jest odległy od A nie mniej niż l
A C B
W - każdy pkt AB
P(A) = miara zb A/ miara W = m(A)/(W) = L-l / B-A = L-l / L = 1- l/L
Def. (zmiennej losowej)
Zmienną losową (X) nazywamy funkcję
X: W®R i {w: X(w)<x}ÎF, xÎR
X: W®{0,1}
X(w1)=0 P(x=1)=1/2
X(w2)=1 P(x=0)=1/2
Typy zmiennych losowych:
a)skokowe (dyskretne)
b) ciągłe
zmienna los dyskretna – zbiór wartości jest zbiorem dyskretnym,
zmienna los ciągła - zbiór wartości jest sumą przedziałów
Def. Funkcję P(X=xi) = pi i=1... nazywamy f-cję prawdopodobieństwa zm los X
Spi = 1
{(xi, pi )} i=1,2...
xi pi
0 ½ xi – punkty skokowe
1 ½ pi - skoki
X – liczba trafień do tarczy
Do tarczy oddana 3 niezależne strzały. Prawd. trafienia ½
0 (1/2)^3 = 1/8
1 3*(1/2)^3 = 3/8
2 3*(1/2)^3 = 3/8
3 (1/2)^3 = 1/8
Def.(dystrybuanta zmiennej losowej)
F:R®<0,1> i F(x) = P(X<x) nazywamy dystrybuantą zm los X
Dla przykładu wyżej
F(x)= { o x£0
1/8 xÎ(0,1>
4/8 xÎ(1,2>
7/8 xÎ(2,3>
1 x>3
F(1) = P(X<1)
1) lim/x®-¥/ F(x) = 0 i lim/x®¥/ F(x) = 1
2) F jest funkcją nie malejącą
3) F jest lewostronnie ciągła
F(x) = S/xi,x/ P(X = xi) = S/xi<x/ pi
Def. (zmienna los ciągła) Funkcja f określona wzorem
f(x) = lim/Dx®0/ [P(x£X£x+Dx) / Dx
nazywamy funkcją gęstości zm los X
Zachodzi następujące przybliżenie
P(x£X£x+Dx) » f(x)*Dx
Własności funkcji gęstości:
1. dla każdego xÎR f(x) ³0
całka od a do b f(x)dx = P(a£x£b) P(X=a) = 0 !
2. całka od +¥ do –¥ f(x)dx = 1
Przykład (linia telef)
f(x) = { 0 dla x<0 lub x=L
c dla xÎ<0,L>
Całka od +¥ do –¥ f(x)dx = całka od 0 do L cdx = cx½L0 = LC = 1, to c = ½
P(l<x£L) = całka l – L f(x)dx – całka l – L 1/Ldx = 1 – l/L
Rys
F(x)= całka od -¥ do x f(t)dt
P(a<X£b) = F(b) – F(a)
P(a<X£b) = F(b) – F(a) i (a,b nie są pkt skokowymi)
Def. E(X)= { Sxipi dla skokowej zm los Całka R xf(x) dla ciągłej zm los
Strzelanie do terczy przez 3 strzelców
xi 0 1 2 3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
EX = 0*1/8 + 1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8 = 1,5
Własności wartości oczekiwanej:
1. P(x=c)=1 to EX=c
2. X przyjmuje wartości nieujemne to EX³0
3. E(aX+b) = aEX+b
4. E[(aX)^k] = a^kEX^k
Def. Momentem zwykłym rzędu k nazywamy wartość oczekiwaną mz X podniesioną do potęki k
mk = E(X^k)
Def. Momentem centralnym rzędu k nazywamy
mk = E{[X – E(X)]^k}
m1=0 m2= m2 – m1^2 m3 = m3 +3m1m2 + 2m1^3
D-d dla m2:
m2 = E{[X – EX]^2} = E( X^2 – 2XEX = E^2X) = E(X^2) – 2E^2X + E^2X = m2 – m1^2
Def. D^2X = E{[X – EX]}^2
Odchylenie standardowe - d, DX
d = pierwiastek z D^2X
1. P(x=c) = 1 to D^2C = 0
2. D^2(aX+b) = a^2D^2X
3. Y = X/DX to D^2(Y) = 1
4. D^2X£E(x-c)^2 dla każdego cÎR
5. Y = (X – EX)/DX to EY = 0 i D^2Y = 1
6. Nierówność Czebyszewa
P{½X - EX½³kd} £ 1/(k^2), kÎR
Ta nierówność nie działa gdy rozkład jest silnie asymetryczny
Def. V = d / XE
Współczynnik zmienności – określa stopień zróżnicowania zm los
Def. Kwantylem rzędu p-tego zm X nazywamy taką liczbę, że
P(X£x) ³ p i P(X³x) ³1-p
Mediana -kwantyl rzędu 1/2
Me = x to P(X £ x) ³ ½ - P(X ³ x) ³ ½
Wyznaczanie mediany:
- jeżeli X zm los ciągła to Me wyznacza się z rów F(x)=1/2
Przykład:
Me = 1 to P(X£1)=1/2 i P(X³1)=7/8
Me = 2 to P(X£2)=7/8 i P(X³2)=1/2
Stąd MeÎ<1,2>
F(X)=1/2
Całka -¥ do x f(t)dx = ½
1/(b-a) całka a do x dx = ½
[1/(b-a)]*(x-a)=1/2
x=(a+b)/2
Def.(Dominanta Do) Wartość zm los, której odpowiada największe prawd gdy X zm los skokowa
a) Max lokalizacja fukncji gęstosci, gdy X zm los ciągła
a) dla każdego xi£c istnieje xj³c istnieje c takie, że P(X=xi) – P(X=xj)=1
gdy X zm los skokowa c – xi + xj – c
b) istnieje c takie, że dla każdego xÎR f(x-c)=f(x+c) gdy X zm los ciągła
g>0 asymetria g<0 asymetria g
Rys*2
Def. W - zbiór zdarzeń elementarnych
xi i=1...n zm los określona na W
zm los X= (X1,X2,...Xn) nazywamy n-wymiarową zm los
Dwuwymiarowa zm los (n=2)
Def. Dwuwymiarowa zm los (X,Y) jest typu skokowego jeżeli przyjmuje ona skończoną lub przeliczalną liczbę wartości (xi yi) odpowiednio z prawdopodobieństwem pij tzn P(X=Xi, Y=yi) = pij, SiSj pij = 1 i pij³o {(xi, yj) Pij}
Def. Dystrybuanta dwuwymiarowej skokowej zm los (X,Y) nazywamy funkcję określoną wzorem
F(x,y) = Sxi<xSyi<y pij i=1...m; j=1...n
pi* = S(j=1 do n) pij = P(X=xi)
p*j = S(i=1 do m) pij = P(y=yi)
Def. Pi* = P(X=xi) i=1..m
P*j = P(y=yi) j=1..n
dzingis88