Elementarny.pdf
(
130 KB
)
Pobierz
659264895 UNPDF
Zadanie 1.
O zdarzeniach
A
,
B
,
C
z pewnej przestrzeni uzyskali±my informacje, i»
P
(
A
|
B
\
C
) = 0
.
6,
P
(
B
|
A
\
C
) = 0
.
3 oraz
P
(
C
|
A
\
B
) = 0
.
9. Obliczy¢ [
A
\
B
\
C
|
(
A
\
B
)
[
(
A
\
C
)
[
(
B
\
C
)].
Odp.
9
/
37
Zadanie 2.
Wiadomo, »e
A
,
B
i
C
s¡ trzema zdarzeniami losowymi takimi, »e
P
(
A
) = 2
/
5
, P
(
B
|
A
) = 1
/
4
, P
(
C
|
A
\
B
) = 0
.
5
, P
(
A
[
B
) = 6
/
10
, P
(
C
|
B
) = 1
/
3
.
Obliczy¢
P
(
A
|
B
\
C
).
Odp.
1
/
2
Zadanie 3.
Rozwa»my zdarzenia losowe
A
1
,
A
2
oraz
C
takie, »e
P
(
C
|
A
1
) =
3
,
P
(
C
|
A
2
) =
2
,
P
(
A
1
) =
2
, zdarzenia
A
1
i
A
2
s¡ niezale»ne oraz
A
1
\
A
2
\
C
=
;
. Obliczy¢
P
(
C
|
A
1
[
A
2
).
Odp.
5
/
9
1
Zadanie 4.
Wiadomo, »e
P
(
A
) = 0
.
7,
P
(
B
) = 0
.
5,
P
(
C
) = 0
.
4 i
P
(
C
|
A
\
B
) = 0. Jaka jest najwi¦ksza
mo»liwa warto±¢ prawdopodobie«stwa warunkowego
P
(
C
|[
B
)?
Odp.
0
.
5
Zadanie 5.
Niech
A
,
B
,
C
b¦d¡ parami niezale»nymi zdarzeniami. Wiadomo, »e
P
(
A
) =
P
(
B
) =
P
(
C
)
oraz
A
\
B
\
C
=
;
(zbiór pusty). Poda¢ najwi¦ksza mo»liw¡ warto±¢ prawdopodobie«stwa
P
(
A
).
Odp.
0
.
577
Zadanie 6.
Zdarzenia
A
,
B
,
C
s¡ parami niezale»ne. Które z nast¦puj¡ce warunków s¡ wystarczaj¡cymi na
to, aby zachodziła tak»e niezale»no±¢ zespołowa tych zdarze«:
(I)
P
(
A
) = 0
.
7,
P
(
B
) = 0
.
6,
P
(
C
) = 0
.
5,
P
(
A
\
(
B
\
C
)) = 0
.
49;
(II)
P
(
B
) = 0;
(III) Zdarzenia
A
\
C
i
A
\
B
s¡ niezale»ne.
Odp.
ka»dy z warunków (I) i (II)
Zadanie 7.
Załó»my, »e
A
i
B
s¡ zdarzeniami losowymi takimi, »e
P
(
A
\
B
)
>
0,
P
(
B
\
A
)
>
0,
P
(
A
\
B
)
>
0.
Je±li dla pewnego zdarzenia
C
zachodzi nierówno±¢
P
(
C
|
A
[
B
)
> P
(
C
|
A
), to z tego wynika, »e:
(A)
P
(
C
|
A
[
B
)
> P
(
C
|
B
)
(B)
P
(
C
|
A
\
B
)
> P
(
C
|
A
)
(C)
P
(
C
|
B
\
A
)
> P
(
C
|
A
)
(D)
P
(
C
|
B
)
> P
(
C
)
(E)
P
(
C
|
B
\
A
)
> P
(
C
|
A
\
B
)
Odp.
C
Zadanie 8.
A
i
B
s¡ zdarzeniami losowymi,
A
0
i
B
0
oznaczaj¡ zdarzenia przeciwne. Wiemy, »e
P
(
A
|
B
) =
4
,
P
(
A
0
|
B
0
) =
3
,
P
(
B
|
A
) =
1
5
i
P
(
B
0
|
A
0
) =
5
. Obliczy¢
P
(
A
[
B
|
A
0
[
B
0
).
Odp.
7
/
9
Zadanie 9.
Niech
A
i
B
b¦d¡ zdarzeniami losowymi,
A
0
i
B
0
oznaczaj¡ zdarzenia przeciwne. Wiadomo, »e
P
(
B
0
|
A
) =
,
P
(
B
|
A
0
) =
i
P
(
A
) =
P
(
B
) =
p
. Obliczy¢
p
wiedz¡c, »e
= 1
/
2 i
= 1
/
3.
Odp.
2
/
5
Zadanie 10.
Rozwa»my trzy zdarzenia losowe
E
,
C
1
,
C
2
pewnej przestrzeni probabilistycznej . Niech
E
0
,
C
0
1
,
C
0
2
oznaczaj¡ zdarzenia przeciwne. Wiemy, »e zdarzenia
C
1
,
C
2
niezale»ne,
P
(
C
1
) =
P
(
C
2
) =
p
,
P
(
E
|
C
1
) =
P
(
E
|
C
1
) =
P
(
E
|
C
1
\
C
2
) =
r
,
P
(
E
0
|
C
0
1
\
C
0
2
) = 1. Obliczy¢
P
(
C
1
|
E
).
Odp.
zadania aktuarialne, modyfikacja WZ, strona 1
1
1
P
(
A
2
) =
1
1
2
1
2
−
p
Zadanie 11.
Niech
A
,
B
,
C
b¦d¡ zdarzeniami losowymi spełniaj¡cymi warunki
P
(
C
\
B
)
>
0
, P
(
B
\
C
)
>
0
, P
(
B
\
C
)
>
0
, P
(
A
|
C
\
B
)
> P
(
A
|
B
)
.
Udowodni¢, »e
P
(
A
|
B
[
C
)
> P
(
A
|
B
).
Odp.
—
Zadanie 12.
Wiadomo, »e
A
,
B
,
C
s¡ zdarzeniami losowymi takimi, »e
P
(
B
) =
2
5
, P
(
A
|
B
) =
1
4
, P
(
C
|
A
) =
1
4
, P
(
A
[
B
) =
3
5
, P
(
C
|
A
\
B
) =
1
2
.
Obliczy¢
P
(
B
|
A
\
C
).
Odp.
2
/
3
Zadanie 13.
W urnie jest pi¦¢ kul białych i dziesi¦¢ kul czarnych. Losujemy po jednej kuli bez zwracania do
momentu, a» w±ród wylosowanych kul znajd¡ si¦ kule obydwu kolorów. Jaka jest warto±¢ oczekiwana ilo±ci
wylosowanych kul czarnych?
Odp.
2
Zadanie 14.
W urnie jest biała kula. Przeprowadzamy nast¦puj¡ce do±wiadczenie: rzucamy kostk¡ i dorzu-
camy do urny tyle czarnych kul ile oczek wypadło na kostce, a nast¦pnie losujemy z urny kul¦. Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e na kostce była dwójka, je±li wiemy, »e wylosowali±my biał¡ kul¦?
Odp.
20
.
9%
Zadanie 15.
W urnie jest sze±¢ białych kul i dwie czarne. Losujemy kolejno bez zwracania sze±¢ kul. Niech
B
i
oznacza zdarzenie polegaj¡ce na wyci¡gni¦ciu w
i
-tym losowaniu białej kuli,
C
i
na wyci¡gni¦ciu w
i
-tym
losowaniu czarnej kuli. Pokaza¢, »e zdarzenia
B
1
\
C
2
\
B
3
\
B
4
i
B
6
sa niezale»ne.
Odp.
—
Zadanie 16.
W umie znajduje si¦ pocz¡tkowo
b
0
kul białych i
m
−
b
0
kul czarnych. Powtarzamy
n
-krotnie
nast¦puj¡ce czynno±ci:
1. losujemy jedn¡ kul¦ nie zwracaj¡c jej do urny;
2. wrzucamy do urny jedn¡ biał¡ kul¦.
Niech
p
n
oznacza prawdopodobie«stwo wylosowania białej kuli w (
n
+ 1)-szym ci¡gnieniu. Obliczy¢
p
n
.
Odp.
1
−
(1
−
b
0
/m
)(1
−
1
/m
)
n
Zadanie 17.
W umie znajduje si¦ pi¦¢ kul czerwonych, trzy kule białe i dwie kule zielone. Losujemy kolejno,
bez zwracania po jednej kuli z urny a» do momentu pojawienia si¦ po raz pierwszy kuli białej; w tym
momencie ko«czymy losowanie. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e w±ród wylosowanych kul znajdzie si¦
przynajmniej jedna zielona.
Odp.
2
/
5
Zadanie 18.
W etapie I do±wiadczenia losujemy (bez zwracania) pi¦¢ kul z urny zawieraj¡cej sze±¢ kul
białych i cztery kule czarne. Wylosowane kule przekładamy do drugiej urny (która do tego momentu była
pusta). W etapie II do±wiadczenia losujemy z drugiej urny (bez zwracania) dwie kule. Obliczy¢ prawdo-
podobie«stwo, i» po pierwszym etapie wszystkie pi¦¢ wylosowanych kul to były kule białe, je±li obie kule
wylosowane w drugim etapie s¡ białe.
Odp.
1
/
14
Zadanie 19.
Mamy cztery urny, a w ka»dej z nich po cztery kule, przy czym w urnie
k
-tej jest
k
kul czarnych
i (4
−
k
) kul białych. Wybieramy przypadkowo (z równym prawdopodobie«stwem wyboru) jedn¡ z czterech
urn. Z wybranej urny wyci¡gn¦li±my kul¦ czarn¡. Odkładamy na bok i z tej samej urny ci¡gniemy druga
kul¦. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e znów wyci¡gniemy kul¦ czarn¡?
Odp.
2
/
3
zadania aktuarialne, modyfikacja WZ, strona 2
Zadanie 20.
W pierwszej urnie znajduj¡ si¦ kule ponumerowane liczbami 1
,
2
,...,
10, za± w drugiej urnie
kule ponumerowane liczbami 6
,
7
,...,
25. Wyci¡gamy losowo po jednej kuli z ka»dej urny. Obliczy¢ prawdo-
podobie«stwo, »e obie kule maj¡ ten sam numer.
Odp.
1
/
40
Zadanie 21.
Mamy pi¦¢ urn, a w ka»dej z nich po cztery kule. W pierwszej i drugiej urnie skład kul jest
taki sam: jedna czarna i trzy białe. W trzeciej urnie s¡ dwie czarne i dwie białe kule, w zwartej urnie trzy
czarne i jedna biała, a w pi¡tej urnie cztery czarne. Wykonujemy trzy etapowe do±wiadczenie
losujemy urn¦ (prawdopodobie«stwo wylosowania ka»dej z pi¦ciu urn jest takie same);
z wylosowanej urny losujemy jedn¡ kul¦ i odkładamy na bok;
z tej samej urny losujemy nast¦pn¡ kul¦.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo wylosowania czarnej kuli w trzecim etapie pod warunkiem, »e w drugim etapie
wylosujemy kul¦ czarn¡.
Odp.
20
/
33
Zadanie 22.
W urnie znajduje si¦ pocz¡tkowo dziesi¦¢ kul białych i dziesi¦¢ czarnych. Do±wiadczenie polega
na kolejnym, dziesi¦ciokrotnym losowaniu bez zwracania po jednej kuli. Rozwa»my zdarzenia losowe:
A
1
–
w pierwszych czterech losowaniach pojawi¡ si¦ dwie kule białe i dwie czarne;
A
2
– w pierwszych sze±ciu
losowaniach pojawi¡ si¦ trzy białe i trzy czarne kule;
A
3
– w ostatnich czterech losowaniach pojawi¡ si¦ dwie
kule białe i dwie czarne. Pokaza¢, »e
P
(
A
1
\
A
3
|
A
2
) =
P
(
A
1
|
A
2
)
P
(
A
3
|
A
2
).
Odp.
—
Zadanie 23.
W czterech urnach znajduj¡ si¦ kule czarne i białe: w urnie pierwszej s¡ dwie czarne i sze±¢
białych, w drugiej — cztery czarne i cztery białe, w trzeciej — sze±¢ czarnych i dwie białe, w czwartej jest
osiem kul czarnych. Z wylosowanej (z równym prawdopodobie«stwem wyboru) urny ci¡gniemy kolejno (bez
zwracania) trzy kule. Jakie jest prawdopodobie«stwo wyci¡gni¦cia kuli czarnej w trzecim ci¡gnieniu, je±li w
wyniku dwóch pierwszych ci¡gnie« uzyskali±my dwie kule czarne?
Odp.
0
.
8
Zadanie 24.
W ka»dej z trzech urn znajduje si¦ pi¦¢ kul: w pierwszej urnie s¡ cztery białe kule i jedna
czarna kula, w drugiej urnie s¡ trzy białe kule i dwie czarne kule, za± w trzeciej urnie s¡ dwie białe kule i
trzy czarne kule. Wykonujemy trzyetapowe do±wiadczenie:
etap 1: losujemy (z równymi prawdopodobie«stwami) jedn¡ z trzech urn,
etap 2: z wylosowanej w etapie 1 urny ci¡gniemy 2 kule i odkładamy je na bok,
etap 3: z tej samej urny ci¡gniemy jedn¡ (z trzech pozostałych w tej urnie) kul¦.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo wyci¡gni¦cia w etapie 3 kuli białej, je±li w etapie 2 wyci¡gn¦li±my dwie białe
kule.
Odp.
0
.
5
Zadanie 25.
Rozpatrzmy nast¦puj¡cy schemat losowania. Mamy sze±¢ urn, ponumerowanych liczbami 1,
2, 3, 4, 5, 6. W urnie nr.
i
znajduje si¦
i
kul czarnych i 7
−
i
kul białych (
i
= 1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6). Najpierw
rzucamy kostk¡ do gry. Je±li otrzymamy
i
oczek, to wybieramy urn¦ oznaczon¡ numerem
i
. Losujemy z tej
urny kolejno, bez zwracania, dwie kule. Niech
B
1
oznacza zdarzenie losowe polegaj¡ce na wyci¡gni¦ciu białej
kuli w pierwszym losowaniu, za±
B
2
– zdarzenie polegaj¡ce na wyci¡gni¦ciu białej kuli w drugim losowaniu.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo warunkowe
P
(
B
2
|
B
1
).
Odp.
5
/
9
Zadanie 26.
W ka»dej z dziesi¦ciu urn znajduj¡ si¦ dwie kule, oznaczone liczbami, przy czym w
i
–tej
urnie znajduj¡ si¦ kule oznaczone liczb¡
i
. Losujemy kul¦ z urny 1 i przekładamy j¡ do urny 2. Nast¦pnie
(po wymieszaniu kul) losujemy kul¦ z urny 2 i przekładamy do urny 3, itd., kul¦ wylosowan¡ z urny 9
przekładamy do urny 10, wreszcie losujemy kul¦ z urny 10. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ta ostatnia
wylosowana kula ma numer wi¦kszy, ni» 6?
Odp.
80
/
81
zadania aktuarialne, modyfikacja WZ, strona 3
Zadanie 27.
W ka»dej z trzech urn znajduje si¦ 5 kul, przy czym w pierwszej urnie s¡ 4 kule białe i 1 czarna,
w drugiej 3 kule białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 3 czarne. Wykonujemy 3-etapowe do±wiadczenie:
1 etap
: losujemy urn¦ (wylosowanie ka»dej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap
: z wylosowanej urny ci¡gniemy 2 kule bez zwracania, a nast¦pnie dorzucamy do tej urny 1 kul¦ biał¡
i 1 czarn¡;
3 etap
: z tej samej urny ci¡gniemy 1 kul¦.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo wyci¡gni¦cia w trzecim etapie kuli białej, je±li w drugim etapie wyci¡gni¦to
2 kule białe.
Odp.
1
/
2
Zadanie 28.
Dysponujemy dwiema urnami:
A
i
B
. W urnie
A
s¡ dwie kule białe i trzy czarne, w urnie
B
s¡ trzy kule białe i dwie czarne. Wykonujemy trzy etapowe do±wiadczenie:
1 etap
: losujemy urn¦ (wylosowanie ka»dej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap
: z wylosowanej urny ci¡gniemy 2 kule bez zwracania, a nast¦pnie wrzucamy je do drugiej urny;
3 etap
: z urny, do której wrzucili±my kule, losujemy jedn¡ kul¦.
Okazało si¦, »e wylosowana w trzecim etapie kula jest biała. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w drugim
etapie wylosowano dwie kule jednego koloru.
Odp.
0
.
4
Zadanie 29.
W urnie znajduj¡ si¦ trzy kule białe i dwie czarne. Powtarzamy nast¦puj¡ce do±wiadczenie:
losujemy z urny kul¦, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kul¦ biał¡. Dopiero po trzykrotnym powtó-
rzeniu do±wiadczenia w urnie nie było ju» kul czarnych. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w pierwszym
do±wiadczeniu wylosowano kul¦ czarn¡.
Odp.
4
/
7
Zadanie 30.
Dysponujemy
N
+ 1 (
N >
1) identycznymi urnami. Ka»da z nich zawiera
N
kul białych
i czarnych. Liczba kul białych w
i
-tej urnie jest równa
i
−
1, gdzie
i
= 1
,...,N
+1. Losujemy urn¦, a nast¦pnie
ci¡gniemy z niej jedn¡ kul¦ i okazuje si¦, »e otrzymana kula jest biała. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e
ci¡gn¡c drug¡ kul¦ z tej samej urny (bez zwracania pierwszej) równie» otrzymamy kul¦ biał¡. (Wskazówka:
1
·
2 + 2
·
3 +
···
+ (
N
−
1)
N
=
(
N
−
1)
N
(
N
+1)
3
.)
Odp.
2
/
3
Zadanie 31.
W pierwszej skrzynce jest 15 jabłek zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej skrzynce jest 14
jabłek zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy losowo (z równym prawdopodobie«stwem) jedn¡ ze skrzynek
i wyci¡gamy z niej trzy jabłka. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrali±my drug¡ skrzynk¦, je±li wiemy,
»e wszystkie trzy jabłka okazały si¦ zdrowe?
Odp.
4
/
9
Zadanie 32.
Wykonujemy dziesi¦¢ kolejnych niezale»nych rzutów monet¡. Niech
S
n
oznacza liczb¦ orłów
otrzyman¡ w pocz¡tkowych
n
rzutach. Obliczy¢
P
(
S
5
= 3
|
S
10
= 7).
Odp.
5
/
12
Zadanie 33.
Rzucono niezale»nie 16 razy symetryczn¡ monet¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e uzyskano
7 serii, je±li wiadomo, »e uzyskano 10 orłów i 6 reszek.
Odp.
150
/
1001
Zadanie 34.
Obliczy¢
P
(min
{
k
1
,k
2
,k
3
}
= 3) je±li
k
1
,
k
2
,
k
3
to liczby oczek uzyskane w wyniku rzutu trzema
(uczciwymi) kostkami do gry.
Odp.
37
/
216
Zadanie 35.
Rzucamy trzy ko±ci do gry (uczciwe). Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, i» otrzymamy
dwie ró»ne liczby oczek (jedna wyst¡pi na jednej z ko±ci, druga z dwóch pozostałych).
Odp.
15
/
36
zadania aktuarialne, modyfikacja WZ, strona 4
Zadanie 36.
Rzucamy pi¦cioma uczciwymi kostkami do gry. Suma liczb wyrzuconych oczek na wszystkich
pi¦ciu ko±ciach wyniosła 10. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e było pi¦¢ dwójek?
Odp.
1
/
126
Zadanie 37.
Rzucamy cztery ko±ci do gry (uczciwe). Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, i» najmniejsza
uzyskana na pojedynczej ko±ci liczba oczek wyniesie trzy (trzy oczka mog¡ wyst¡pi¢ na wi¦cej ni» jednej
ko±ci).
Odp.
175
/
1296
Zadanie 38.
Rzucamy pi¦cioma ko±¢mi do gry. Nast¦pnie rzucamy ponownie tymi ko±¢mi, na których nie
wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi ko±¢mi, na których do tej pory nie wypadły szóstki.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e po trzech rundach na wszystkich ko±ciach b¦d¡ szóstki.
Odp.
1
.
33%
Zadanie 39.
Wykonujemy 4 rzuty kostk¡ do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e liczby oczek otrzymane w
kolejnych rzutach tworz¡ ci¡g ±ci±le rosn¡cy.
Odp.
4
Zadanie 40.
Rzucamy trzema sze±ciennymi kostkami do gry. Nast¦pnie rzucamy ponownie tymi kostkami,
na których nie wypadły „ jedynki”. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory
nie wypadły „ jedynki”. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e po trzech rundach na wszystkich kostkach b¦d¡
„ jedynki”.
Odp.
0
.
075
Zadanie 41.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w dobrze potasowanej talii kart (52 karty) wszystkie cztery
asy s¡siaduj¡ ze sob¡?
Odp.
Zadanie 42.
W pewnej grze z talii 52 kart losujemy dwie karty. Wygrana nast¦puje, je±li obie karty sa
asami. Niech
x
=
P
(wygrana
|
co najmniej jedna z kart jest kierem)
y
=
P
(wygrana
|
co najmniej jedna z kart jest asem)
z
=
P
(wygrana
|
co najmniej jedna z kart jest asem kier)
Pokaza¢, »e
x < y < z
.
Odp.
—
Zadanie 43.
Talia składa si¦ z 52 kart, po 13 kart ka»dego z czterech koloru. W ka»dym kolorze cztery karty
to figury, za± pozostałych dziewi¦¢ to blotki. Z dobrze potasowanej talii wybieramy kolejno dwie karty bez
zwracania. Niech
A
1
=„pierwsza wybrana karta jest blotk¡ kierow¡”,
B
1
=„pierwsza wybrana karta jest blotk¡ treflow¡”,
C
1
=„pierwsza wybrana karta jest figur¡ kierow¡”,
D
1
=„pierwsza wybrana karta jest figur¡ treflow¡”,
E
1
=„pierwsza wybrana karta jest pikiem”,
T
2
=„druga wybrana karta jest treflem”,
K
2
=„druga wybrana karta jest kierem lub figur¡ treflow¡”,
Która z podanych równo±ci jest prawdziwa?
(A)
P
(
K
2
\
T
2
|
A
1
) =
P
(
K
2
|
A
1
)
P
(
T
2
|
A
1
)
(B)
P
(
K
2
\
T
2
|
B
1
) =
P
(
K
2
|
B
1
)
P
(
T
2
|
B
1
)
(C)
P
(
K
2
\
T
2
|
C
1
) =
P
(
K
2
|
C
1
)
P
(
T
2
|
C
1
)
(D)
P
(
K
2
\
T
2
|
D
1
) =
P
(
K
2
|
D
1
)
P
(
T
2
|
D
1
)
(E)
P
(
K
2
\
T
2
|
E
1
) =
P
(
K
2
|
E
1
)
P
(
T
2
|
E
1
)
Odp.
B
zadania aktuarialne, modyfikacja WZ, strona 5
1
6
4
4!
52
·
51
·
50
Plik z chomika:
m.swicarz
Inne pliki z tego folderu:
R_Pr_MAP1151_przyklady_wektory_losowe_PWL_lista5.pdf
(151 KB)
R_Pr_MAP1151_przyklady_dystrybuanta_lista2.pdf
(135 KB)
R_Pr_MAP1151_przyklady_dyskretne_ciagle_lista3.pdf
(238 KB)
R_Pr_MAP1151_przyklady_CTG_lista6.pdf
(159 KB)
Elementarny.pdf
(130 KB)
Inne foldery tego chomika:
Dokumenty
Galeria
Gry
Informatyka
Plotkara
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin