Nowe koncepcje przestrzeni i czasu.pdf

JERZY LUKIERSKI

Uniwersytet Wrocławski

Nowe koncepcje przestrzeni i czasu

w opisie mikro±wiata

1. Dlaczego konsekwentne zastosowanie idei Einsteina prowadzi do doda-

wania nowych wymiarów?

2. Jak mechanika kwantowa przyczynia si¦ do destrukcji poj¦cia klasycz-

nej czasoprzestrzeni?

3. Która geometria jest bardziej podstawowa - spinorowa czy wektorowa

- czyli o pasji naukowej J. Rzewuskiego i R. Penrose’a.

1. Uwagi historyczne

Mo»na wyodr¦bni¢ dwa podej±cia ontologiczne do poj¦cia przestrzeni i czasu:

i) Przestrze« i czas s¡ kategoriami absolutnymi, pierwotnymi

Podstawow¡ cech¡ takiego podej±cia jest traktowanie czasu i przestrzeni jako

areny niezale»nej od umieszczonej na niej rzeczywisto±ci ﬁzycznej. O takiej

przestrzeni i takim czasie pisze najwi¦kszy w staro»ytno±ci ﬁlozof przyrody,

Arystoteles. Dla niego przestrze« jest absolutna, ze ±rodkiem, oraz czas

absolutny, z pocz¡tkiem zadaj¡cym stworzenie Wszech±wiata. W czasach

nowo»ytnych ostatnim wielkim zwolennikiem absolutnej przestrzeni i czasu

był Newton. Pierwszy wyłom w absolutyzmie poj¦¢ czasu i przestrzeni zo-

stał dokonany przez Galileusza, który wprowadził równowa»no±¢ przestrzeni

przesuni¦tej o translacje i obrót (tzw. przekształcenia Galileusza). Abso-

lutno±¢ przestrzeni została zast¡piona poj¦ciem przestrzeni równowa»nych,

powi¡zanych przekształceniami symetrii czasu i przestrzeni. W szczególno±ci

koncepcja przestrzeni Galileusza, w zgodzie z kopernika«sk¡ teori¡ układu

planetarnego, nie pozwalała nazywa¢ kul¦ ziemsk¡ ±rodkiem Wszech±wiata.

ii) Przestrze« i czas to konstrukty opisuj¡ce relacje pomi¦dzy obiek-

tami ﬁzycznymi we wszech±wiecie.

Wraz z rozwojem podej±cia do±wiadczalnego do prawidłowo±ci natury stawał

si¦ coraz bardziej popularnym pogl¡d, »e formy materii, zjawiska ﬁzyczne, s¡

realizowane w kategoriach przestrzennych, a czas to miara zmian, ewolucji

zjawisk. Ukoronowaniem tego stanowiska jest podej±cie do czasu i przestrzeni

zaproponowane przez Einsteina, który poł¡czył czas i przestrze« w poj¦cie

czasoprzestrzeni. wiat materialny jest opisany zdarzeniami, których pod-

stawowym atrybutem s¡ współrz¦dne czasoprzestrzeni. Istotnym postulatem

ogólnej teorii wzgl¦dno±ci (teorii grawitacji) Einsteina jest postrze»enie, »e

to materia okre±la form¦ czasoprzestrzeni. Nale»y podkre±li¢, »e z teorii gra-

witacji wynikaj¡ dwa wnioski:

i) Geometria czasoprzestrzeni, jej zakrzywienie, zale»y od obecnej w niej

materii. Wyra»amy to zasad¡, »e g¦sto±¢ materii opisuje ¹ródła pola grawi-

tacyjnego

ii) Okazuje si¦, »e nawet bez obecno±ci ¹ródeł materii nie istnieje pusta czaso-

przestrze« - gdy» istnieje “materia geometryczna“ - samo pole grawitacyjne.

W szczególno±ci taka czasoprzestrze« bez ¹ródeł materii mo»e mie¢ ciekawe

własno±ci, np. swoiste “zmarszczki“, opisane falami grawitacyjnymi.

Nale»y ponadto doda¢, »e istnieje argument za brakiem pustej przestrzeni,

który ma swoje ¹ródło w teorii kwantowej. Kwantowa czasoprzestrze« bez

materii jest wypełniona tzw. wirtualnymi procesami kwantowymi. Okazuje

si¦ jednak, »e taka pró»nia wypełniona jednorodnie wirtualnymi procesami

kwantowymi mo»e by¢ zinterpretowana jako pró»nia realistyczna, tzw. pró»-

nia ﬁzyczna.

2. Czasoprzestrze« relatywistyczna

Rewolucja einsteinowska (r. 1905) jest oparta na nast¦puj¡cej zmianie pod-

stawowej geometrii

Absolutna przestrze« czasoprzestrze«

absolutny czas ( ¹ =0 ; 1 ; 2 ; 3)

¡! X =( x 1 ;x 2 ;x 3 ; t)X ¹ =( ¡! X;X 0 = ct )

(1)

ﬁzyka

nierelatywistyczna

relatywistyczna

Mno»¡c czas przez uniwersaln¡ pr¦dko±¢ ±wiatła c (c ' 300 000 km/sek)

mo»emy wyrazi¢ upływ czasu w jednostkach długo±ci:

t¡!X 0 = c¢t (czwarty wymiar) (2)

Czasoprzestrze« relatywistyczna nie posiada ani wyró»nionego ±rodka ani

nie ma w niej wyró»nionego kierunku. Jest to tre±ci¡ tzw. specjalnej za-

sady wzgl¦dno±ci (równowa»no±ci), w której dodatkowo jeszcze postulujemy,

»e dwa układy czasoprzestrzenne poruszaj¡ce si¦ wzgl¦dem siebie ze stał¡

pr¦dko±ci¡ s¡ ﬁzycznie równowa»ne. Pełna klasa równowa»nych układów cza-

soprzestrzennych jest opisana 10-parametrowymi przekształceniami symetrii

Poincaré, na które składaj¡ si¦ nast¦puj¡ce przekształcenia:

1) Translacje przestrzenne ( a i - dowolny trójwektor; i =1 ; 2 ; 3)

X i = X i + a i (3)

Równowa»no±¢ układów ﬁzycznych wzgl¦dem przekształce« (1) oznacza

brak wybranego ±rodka przestrzeni

2) Translacje czasowe ( b - dowolna stała)

t 0 = t + b (4)

Niezmienniczo±¢ praw ﬁzyki wzgl¦dem przekształce« (4) oznacza ich nieza-

le»no±¢ od czasu, w którym przeprowadzamy badania (ﬁzyka jest taka sama

w dowolnej chwili przeszło±ci jak i przyszło±ci).

3) Obroty przestrzenne (dla prostoty opiszemy obroty dookoła trzeciej

osi: ® - k¡t obrotu)

X 0 1 =cos ®X 1 +sin ®X 2

X 0 2 = ¡ sin ®X 2 +cos ®X 2

X 0 3 = X 3

(5)

Niezmienniczo±¢ praw ﬁzyki wzgl¦dem przekształce« (5) oznacza, »e w

przestrzeni nie ma wyró»nionego kierunku

4) Obroty pseudoeuklidesowe pomi¦dzy kierunkiem przestrzennym i osi¡

czasow¡, opisuj¡ce ruch wzgl¦dny dwóch układów odniesienia ze stał¡ pr¦d-

ko±ci¡ v .

Rozwa»my dla prostoty ruch jednostajny wzdłu» osi X 1 ze stał¡ pr¦dko-

±ci¡ v . Zamiana współrz¦dnych czasoprzestrzeni

( X 1 ;X 2 ;X 3 ;X 0 = ct ) ¡! ( X 0 1 ;X 2 ;X 3 ;X 0 0 = ct 0 ) (6)

jest opisana wzorem ( ¯ = v c + ::: )

X 0 0 =sinh ¯X 1 +cosh ¯¢X 0

X 0 1 =cosh ¯X 1 +sinh ¯¢X 0 (7)

Uwzgl¦dniaj¡c rozwini¦cie hiperbolicznych funkcjisin ¯ ,cos ¯ w szereg po-

t¦gowy

6 + :::

cosh ¯ =1+ ¯ 2

(8)

2 + :::

sinh ¯ = ¯ + ¯ 3

otrzymujemy

1+ 1

v 2

c 2 + :::

c + 1

v 3

c 3 + :::

X 0 1 =

X 1 +

µ v

c + ¢¢¢

1+ 1

v 2

c 2 + :::

ct 0 =

X 1 +

ct (9)

W granicy c!1 z formuły (9) wynika nierelatywistyczny wzór Galileusza:

X 1 = X 1 + v¢t

t 0 = t (10)

ł¡cz¡cy opis przestrzenny i czasowy dwóch układów nierelatywistycznych.

Łatwo zauwa»y¢, »e obrót hiperboliczny (7) pozostawia niezmiennicz¡

nast¦puj¡c¡ form¡ kwadratow¡:

X 2 1 ¡X 2 0 =inv

(11)

Obroty (7) nosz¡ nazw¦ obrotów Lorentza. Jest ich trzy, opisuj¡ one obroty

w nast¦puj¡cych trzech płaszczyznach:

( X 1 ;X 0 ) ; ( X 2 ;X 0 ) ; ( X 3 ;X 0 ) (12)

Dodaj¡c do trzech obrotów Lorentza trzy niezale»ne obroty opisuj¡ce obroty

trójwymiarowej przestrzeni (patrz tak»e (5))

( X 1 ;X 2 ) ; ( X 1 ;X 3 ) ; ( X 2 ;X 3 ) (13)

otrzymujemy sze±cioparametrow¡ grup¦ obrotów Lorentza, zachowuj¡cych

nie zmienion¡ nast¦puj¡c¡ form¦ kwadratow¡:

S 2 = X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 ¡X 2 0

(14)

Fizyka relatywistyczna opisuje prawa ﬁzyki, które s¡ niezmiennicze wzgl¦dem

przekształce« grupy Poincaré (wzory (3),(4), (5) i (7)).

Znak “ ¡ “ przed ostatnim członem wzoru (14) jest bardzo wa»ny - jest on

konieczny do opisu dynamiki relatywistycznej przy pomocy hiperbolicznych

równa« ró»niczkowych. Równania te prowadz¡ do przyczynowej dynamiki ﬁ-

zyki relatywistycznej, do przyczynowej ewolucji w czasie układów ﬁzycznych,

w ramach której przeszło±¢ okre±la przyszło±¢. Relatywistyczno±¢ opisu pro-

wadzi tak»e do konkluzji, »e wszelkie materialne oddziaływania we wszech-

±wiecie rozchodz¡ si¦ z pr¦dko±ci¡ nie wi¦ksz¡ ni»eli pr¦dko±¢ ±wiatła c .

Aby opisa¢ ﬁzyk¦ relatywistyczn¡ traktujemy geometrycznie czas i prze-

strze« jako składowe czterowektora poło»enia

X ¹ =( X i ;X 0 = ct ) (15)

Podobnie opisujemy p¦d p i i energi¦ E - tworz¡ one czterowektor p¦du

p i ;p 0 = E

p ¹ =

(16)

Mo»emy analogicznie do wzorów (7) wprowadzi¢ przekształcenia Lorentza

które mieszaj¡ p¦d i energi¦. Odpowiednikiem wzoru (14) w przestrzeni

p¦dów jest deﬁnicja relatywistycznej masy spoczynkowej m 0 :

p 2 1 + p 2 2 + p 2 3 ¡p 2 0 = ¡m 2 0 c 2 (17)

W układzie spoczynkowym ( p 1 = p 2 = p 3 =0) otrzymujemy ze wzoru (17)

p 2 0 = m 2 0 c 2 )E 2 = m 2 0 c 4 )E = m 0 c 2

(18)

Wzór (18) to znana ikona ﬁzyki relatywistycznej - równowa»no±¢ energii i

masy, której słuszno±¢ potwierdza m.in. wybuch bomby atomowej.

Nale»y doda¢, »e z podanej wy»ej deﬁnicji relatywistycznego czterop¦du

wynikaj¡ relatywistyczne zasady dodawania energii i p¦du. Znajduj¡ one

potwierdzenie do±wiadczalne w akceleratorach wysokich energii, przy opisie

kinetycznym procesów zderze« i rozprasza« cz¡stek elementarnych.

3. Ogólna teoria wzgl¦dno±ci jako dynamiczna

teoria czasoprzestrzeni

Einstein jest ojcem dwóch rewolucji naukowych - specjalnej teorii wzgl¦dno-

±ci (1905) oraz ogólnej teorii wzgl¦dno±ci (1915). Podstawowa idea ogólnej

teorii wzgl¦dno±ci to podanie zwi¡zku pomi¦dzy geometri¡ przestrzeni oraz

obecno±ci¡ w niej materii (nie znikaj¡cej g¦sto±ci energii i p¦du).

G¦sto±¢ energii T 00 ( x i ;t )opisuje w chwili t energi¦ E ( V ; t ]w dowolnym

obszarze przestrzennym V przy pomocy wzoru z całkowaniem po obj¦to±ci V

E [ V;t ]=

d 3 ~xT 00 ( ~x;t ) (19)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: