W celu przeprowadzenia symulacji kształtowania się premii trzymiesięcznych opcji kupna wykorzystałem model Blacka-Scholesa. Przyjąłem następujące założenia:
· Stopa r wolna od ryzyka – 6%
· Odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji s – 0,2
· Cena akcji S w momencie t=0 wynosi 250
· Cykl wzrostowy powoduje wzrost cen o p = 35 %
· WIBOR 2W wynosi 6,6 % czyli cykl malejący powoduje spadek cen akcji o 6,6% + 2% = 8,6%
· Opcja jest trzymiesięczna, więc T w momencie t=0 wynosi 90 dni
· Symulację przeprowadzam dla 30 obserwacji, jedna obserwacja to jeden dzień transakcyjny, czyli łącznie dla 6 tygodni
· Najpierw 4 tygodnie trwa cykl wzrostowy później ma miejsce cykl malejący trwający 2 tyg.
· Cena akcji zmienia się liniowo.
Współczynnik delta określa reakcję premii opcji na zmianę ceny instrumentu podstawowego. Wartość tego współczynnika określa o ile zmieni się cena opcji, gdy cena instrumentu podstawowego zmieni się o jednostkę. Dla opcji z ceną wykonania 280, w t=1 delta równa się w przybliżeniu 0,2194, czyli o tyle zmieni się premia jeśli cena instrumentu bazowego zmieni się o 1. Im bardziej opcja call jest „out-of-the-money” tym współczynnik bliższy jest 0. Opcja call „at-the-money” bliższa jest 0,5. Natomiast im bardziej opcja jest “in-the-money” tym współczynnik ten jest bliższy jedynki. Widoczne jest to na przykładzie z cena wykonani opcji 280. W początkowym okresie, gdy opcja jest „out of the money” delta jest bliska 0, wraz ze wzrostem wartości akcji wartość współczynnika rośnie by w granicach, gdy opcja jest „at the money” mieć wartość bliska 0,5. W t=20, gdy wartość akcji jest najwyższa w badanym okresie delta jest również największa wynosi 0,9894. W tym momencie opcja tez jest „najbardziej” „in-the-money”. Współczynnik delta jest pomocny przy zarządzaniu ryzykiem. Przykładowo, jeśli chcemy mieć portfel wolny od ryzyka zmian cen akcji należy na każdą zakupioną akcję wystawić 1/delta opcji kupna. Dlatego delta jest tez nazywana jako hedge ratio.
Współczynnik gamma mówi o tym jak zmieni się wartość delty pod wpływem zmiany ceny instrumentu bazowego o jednostkę. Jest to druga pochodna ceny opcji względem instrumentu podstawowego. Najwyższe wartości tego współczynnika mają opcje „at-the-money” blisko terminu wygaśnięcia.. Opcje o wysokich wartościach gamma są atrakcyjne dla kupującego opcje. W obu przypadkach, dla których przedstawiono symulację wartości gamma są bardzo małe. Maleją wraz ze wzrostem wartości instrumentu podstawowego. Są najmniejsze, gdy opcja jest jak „najbardziej” ”in-the-money”. Największa wartość gamma jest w t=0 dla opcji z ceną wykonania 240. Jest to spowodowane faktem, iż wrażliwość delty jest tym większa im cena instrumentu podstawowego jest bliżej stanu, w którym opcja jest „at-the-money”. Potwierdza to przykład dla ceny wykonania 280, tutaj gamma ma największą wartość w momencie t=7, wtedy tez wartość akcji jest najbliżej 280(akcja wynosi wtedy 280,6). Głównym celem liczenia gammy jest sprawdzenie czy wielkość portfela opcji nie przekracza możliwości instytucji do handlu nimi. Współczynnik informuje o tym czy np. 1% zmiana w cenie instrumentu bazowego nie wymaga tak dużego zabezpieczenia pozycji, że przekracza to możliwości przeprowadzania transakcji i tym samym daje sygnał do podjęcia korekty aktualnej pozycji.
Korzystam z modelu Blacka-Scholesa jednak zamiast bieżącej ceny akcji używam ceny zmodyfikowanej Sd.
Sd = S – PV(dywidendy)
Poza założenia z 2 zadania, dochodzą nowe:
· Akcja wypłaca dywidendę w wysokości – 10%
· Ustalenie prawa do dywidendy następuje w końcu 3 tygodnia, czyli w t=15. Dywidenda ma wysokość 0,1* S(t=15)= 31,5625
· Wypłata następuje w t=16 i tego dnia wartość akcji jest pomniejszana o dywidendę.
· Cena akcji zmienia się liniowo za wyjątkiem t=16, kiedy to jest pomniejszona o dywidendę.
E-nauka