Cw_4.doc

OPIS DOŚWIADCZENIA LOSOWEGO, ZMIENNA LOSOWA I JEJ CHARAKTERYSTYKI

ROZKŁADY TYPU DYSKRETNEGO

Zagadnienia na ćwiczenia:

-         pojęcie przestrzeni probabilistycznej

-         definicja zmiennej losowej

-         rozkład zmiennej losowej, funkcja prawdopodobieństwa, dystrybuanta

-         charakterystyki zmiennej losowej (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, mediana, kwantyle)

-         rodzaje zmiennych losowych: typu skokowego, typu ciągłego

-         rozkłady typu skokowego: rozkład zerojedynkowy, dwumianowy, Poissona, hipergeometryczny

Literatura:

Zadania: Krysicki i inni, "Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część I. Rachunek prawdopodobieństwa", str. 7, 16-18, 48-55, 66-72, 81-84, 85-94, 110-113

(Ciekawsze zadania: 2.64-2.66, 2.75-2.82. Za rozwiązania każdego z nich przyznaję 2%)

Teoria :Koronacki, Mielniczuk "Statystyka", str. 61-79, 92-111

Zad.1. Narysować dowolną funkcję spełniającą pierwsze trzy własności dystrybuanty.

Zad.2. Niech zmienna losowa X oznacza dzienną liczbę ataków na pewną sieć korporacyjną. Zbiór wartości zmiennej losowej X to {0,1,2,3}, natomiast odpowiadające im prawdopodobieństwa wynoszą {0,1; 0,2; 0,6; c}.

a)       Wyznaczyć stałą c, tak aby uzyskać właściwy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

b)       Przedstawić funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w postaci tabeli oraz wykresu.

c)        Wyznaczyć dystrybuantę X w postaci tabeli oraz ją narysować.

d)       Obliczyć prawdopodobieństwo korzystając z funkcji prawdopodobieństwa, z dystrybuanty w postaci tabeli oraz wykresu.

e)       Obliczyć prawdopodobieństwo korzystając z dystrybuanty. Zaznaczyć to prawdopodobieństwo na wykresie dystrybuanty.

Zad.3. Wyznaczyć oraz narysować funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeżeli jej dystrybuanta (również ją narysować) ma następującą postać:

Zad.4. Niech będzie dana dyskretna zmienna losowa X o funkcji prawdopodobieństwa:

Dla zmiennej losowej X oraz Y=3X+2 wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe. W przypadku zmiennej losowej Y zaprezentować oraz skorzystać z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

Zad. 5.

Aktuariusz na podstawie swoich badań ustalił, że rozkład prawdopodobieństwa liczby wypadków powstających w ciągu dnia roboczego jest następujący:

a)       Określ zmienną losową X

b)       Wykreśl funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

c)        Wyznacz jej dystrybuantę

d)       Oblicz , oraz

e)       Ustal wartość oczekiwaną, wariancję (oraz medianę zmiennej losowej X)

Zad.6. Wyznaczyć w sposób analityczny wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym.

Z wykorzystaniem pakietu R narysuj funkcję prawdopodobieństwa dla rozkładu zero-jedynkowego dla różnych wartości prawdopodobieństwa sukcesu. Jakie wnioski płyną z analizy?

Zad.7. Prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu w grupie klientów wysokiego ryzyka wynosi 0,30. W pewnym oddziale banku udzielono 4 kredytów wspomnianym klientom. Jaki model stosuje się do powyższego problemu? Czy wszystkie założenia modelu są zasadne z punktu widzenia opisu rzeczywistości?

a)       Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę liczby niespłaconych kredytów (w formie tabeli i wykresu).

b)       Obliczyć oczekiwaną liczbę niespłaconych kredytów oraz jej wariancję i odchylenie standardowe. Rozwiąż zadanie na dwa sposoby: z definicji i korzystając z gotowej formuły na wspomniane wartości.

c)        Dwoma sposobami (z funkcji rozkładu i dystrybuanty) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że mniej niż 3 klientów nie spłaci kredytu.

d)       Czy w rzeczywistości założenie, że prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu dla każdego klienta wysokiego ryzyka wynosi 0,30 jest sensowne? Co można zrobić, aby dokładniej modelować prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu?

Zad. 8.

W pewnej firmie wykonuje się rocznie około miliona operacji księgowania. Wiadomo, że frakcja księgowań niepoprawnych wynosi 0,2%. Przy kontroli przedsiębiorstwa losuje się w celu dokładnego sprawdzenia 2500 pozycji księgowania (losowanie ze zwracaniem). Wyznaczyć:

a)       prawdopodobieństwo, że przy kontroli zostaną znalezione nie więcej niż trzy źle zaksięgowane pozycje

b)       rozkład prawdopodobieństwa (funkcję prawdopodobieństwa) liczby znalezionych niepoprawnych księgowań (obliczenia zakończyć na przedziale 10 i więcej)

c)        parametry rozkładu

d)       teoretyczne liczebności liczby niepoprawnych księgowań w 200 różnych losowaniach

(Wsk. Wykorzystaj własności rozkładu Poissona. W jakich sytuacjach dopuszczalne jest przybliżenie zmiennej o rozkładzie dwumianowym zmienną o rozkładzie Poissona?)

Zad. 9.

Biegły rewident losuje w celu kontroli 10 pozycji spośród 100 i sprawdza poprawność ich księgowania. Wiadomo, że wśród wszystkich pozycji 1% jest niepoprawnie zaksięgowanych. Wyznaczyć rozkład liczby wylosowanych, niepoprawnie zaksięgowanych pozycji przy założeniu stosowania przez biegłego rewidenta losowania ze zwracaniem. Wyznaczyć parametry tego rozkładu i porównać z parametrami rozkładu otrzymanego w tych samych warunkach, ale w przypadku losowania bez zwracania.

(Wsk. Skorzystaj z własności rozkładu dwumianowego i rozkładu hipergeometrycznego. Jaka jest różnica pomiędzy wspomnianymi rozkładami? W jakich sytuacjach wykorzystamy do opisu zjawiska losowego rozważane rozkłady?)

Zad.10. Do pewnej firmy klienci zgłaszają się przeciętnie z częstotliwością 2 klientów na 10 minut. Postanowiono założyć, że liczbę zgłaszających się w ciągu 10 minut klientów można modelować przy pomocy rozkładu Poissona z parametrem (dlaczego?).

Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa w formie tabelki oraz narysować dystrybuantę dla x=0,1,2,3,4.

a)       Wyznaczyć oczekiwaną liczbę klientów oraz jej wariancję i odchylenie standardowe.

b)       Firma może maksymalnie obsłużyć 4 klientów w ciągu 10 minut. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 minut do firmy przybędzie więcej niż 4 klientów.